微积分学 示例

求出局部极大值与局部极小值 cos(2x)
解题步骤 1
书写为一个函数。
解题步骤 2
求函数的一阶导数。
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解题步骤 2.1
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
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解题步骤 2.1.1
要使用链式法则,请将 设为
解题步骤 2.1.2
的导数为
解题步骤 2.1.3
使用 替换所有出现的
解题步骤 2.2
求微分。
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解题步骤 2.2.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 2.2.2
乘以
解题步骤 2.2.3
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 2.2.4
乘以
解题步骤 3
求函数的二阶导数。
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解题步骤 3.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 3.2
使用链式法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
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解题步骤 3.2.1
要使用链式法则,请将 设为
解题步骤 3.2.2
的导数为
解题步骤 3.2.3
使用 替换所有出现的
解题步骤 3.3
求微分。
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解题步骤 3.3.1
因为 对于 是常数,所以 的导数是
解题步骤 3.3.2
乘以
解题步骤 3.3.3
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 3.3.4
乘以
解题步骤 4
要求函数的极大值与极小值,请将导数设为等于 并求解。
解题步骤 5
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 5.1
中的每一项都除以
解题步骤 5.2
化简左边。
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解题步骤 5.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 5.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 5.2.1.2
除以
解题步骤 5.3
化简右边。
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解题步骤 5.3.1
除以
解题步骤 6
取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的
解题步骤 7
化简右边。
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解题步骤 7.1
的准确值为
解题步骤 8
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 8.1
中的每一项都除以
解题步骤 8.2
化简左边。
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解题步骤 8.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 8.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 8.2.1.2
除以
解题步骤 8.3
化简右边。
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解题步骤 8.3.1
除以
解题步骤 9
正弦函数在第一和第二象限中为正值。若要求第二个解,可从 减去参考角以求第二象限中的解。
解题步骤 10
求解
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解题步骤 10.1
化简。
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解题步骤 10.1.1
乘以
解题步骤 10.1.2
相加。
解题步骤 10.2
中的每一项除以 并化简。
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解题步骤 10.2.1
中的每一项都除以
解题步骤 10.2.2
化简左边。
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解题步骤 10.2.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 10.2.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 10.2.2.1.2
除以
解题步骤 11
方程 的解。
解题步骤 12
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 13
计算二阶导数。
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解题步骤 13.1
乘以
解题步骤 13.2
的准确值为
解题步骤 13.3
乘以
解题步骤 14
因为二阶导数的值为负数,所以 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极大值
解题步骤 15
时的 y 值。
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解题步骤 15.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 15.2
化简结果。
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解题步骤 15.2.1
乘以
解题步骤 15.2.2
的准确值为
解题步骤 15.2.3
最终答案为
解题步骤 16
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 17
计算二阶导数。
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解题步骤 17.1
约去 的公因数。
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解题步骤 17.1.1
约去公因数。
解题步骤 17.1.2
重写表达式。
解题步骤 17.2
在第一象限中找出三角函数值与之相等的角,并使用这一参考角。令表达式取负值,因为余弦在第二象限为负。
解题步骤 17.3
的准确值为
解题步骤 17.4
乘以
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解题步骤 17.4.1
乘以
解题步骤 17.4.2
乘以
解题步骤 18
因为二阶导数的值为正数,所以 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极小值
解题步骤 19
时的 y 值。
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解题步骤 19.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 19.2
化简结果。
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解题步骤 19.2.1
约去 的公因数。
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解题步骤 19.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 19.2.1.2
重写表达式。
解题步骤 19.2.2
在第一象限中找出三角函数值与之相等的角,并使用这一参考角。令表达式取负值,因为余弦在第二象限为负。
解题步骤 19.2.3
的准确值为
解题步骤 19.2.4
乘以
解题步骤 19.2.5
最终答案为
解题步骤 20
这些是 的局部极值。
是一个局部最大值
是一个局部最小值
解题步骤 21