微积分学示例

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{4}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 1$ 。

$\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$4 u^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

解题步骤 1.1.3

使用 $x^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 1.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + 0)$

解题步骤 1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x)$

解题步骤 1.2.4.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$

解题步骤 1.2.4.3

重新排序 $8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$ 的因式。

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $8$ 对于 $x$ 是常数，所以 $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $8 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 1)}^{3}]$ 。

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x {(x^{2} - 1)}^{3})$

解题步骤 2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} - 1)}^{3}$ 。

$f'' (x) = 8 (x \frac{d}{d x} ({(x^{2} - 1)}^{3}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 1$ 。

$f'' (x) = 8 (x (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f'' (x) = 8 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.3.3

使用 $x^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x + 0)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 8 (x (3 {(x^{2} - 1)}^{2} (2 x)) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.4.4.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 8 (x (6 {(x^{2} - 1)}^{2} x) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = 8 (x \cdot x (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.7

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 8 (x^{1 + 1} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.8

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x))$

解题步骤 2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3} \cdot 1)$

解题步骤 2.10

将 ${(x^{2} - 1)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2}) + {(x^{2} - 1)}^{3})$

解题步骤 2.11

化简。

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解题步骤 2.11.1

运用分配律。

$f'' (x) = 8 (x^{2} (6 {(x^{2} - 1)}^{2})) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

解题步骤 2.11.2

将 $6$ 乘以 $8$ 。

$f'' (x) = 48 (x^{2} ({(x^{2} - 1)}^{2})) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

解题步骤 2.11.3

从 $48 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{2} + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$ 中分解出因数 $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ 。

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解题步骤 2.11.3.1

从 $48 x^{2} {(x^{2} - 1)}^{2}$ 中分解出因数 $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ 。

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{3}$

解题步骤 2.11.3.2

从 $8 {(x^{2} - 1)}^{3}$ 中分解出因数 $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ 。

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (x^{2} - 1)$

解题步骤 2.11.3.3

从 $8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2}) + 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (x^{2} - 1)$ 中分解出因数 $8 {(x^{2} - 1)}^{2}$ 。

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (6 x^{2} + x^{2} - 1)$

解题步骤 2.11.4

将 $6 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{2} (7 x^{2} - 1)$

解题步骤 2.11.5

将 ${(x^{2} - 1)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ 。

$f'' (x) = 8 ((x^{2} - 1) (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

解题步骤 2.11.6

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} - 1) (x^{2} - 1)$ 。

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解题步骤 2.11.6.1

运用分配律。

$f'' (x) = 8 (x^{2} (x^{2} - 1) - 1 (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

解题步骤 2.11.6.2

运用分配律。

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 (x^{2} - 1)) (7 x^{2} - 1)$

解题步骤 2.11.6.3

运用分配律。

$f'' (x) = 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

解题步骤 2.11.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.11.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.11.7.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.11.7.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

解题步骤 2.11.7.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = 8 (x^{4} + x^{2} \cdot - 1 - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

解题步骤 2.11.7.1.2

将 $- 1$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = 8 (x^{4} - 1 \cdot x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

解题步骤 2.11.7.1.3

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - 1 x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

解题步骤 2.11.7.1.4

将 $- 1 x^{2}$ 重写为 $- x^{2}$ 。

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - x^{2} - 1 \cdot - 1) (7 x^{2} - 1)$

解题步骤 2.11.7.1.5

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 8 (x^{4} - x^{2} - x^{2} + 1) (7 x^{2} - 1)$

解题步骤 2.11.7.2

从 $- x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = 8 (x^{4} - 2 x^{2} + 1) (7 x^{2} - 1)$

解题步骤 2.11.8

运用分配律。

$f'' (x) = (8 x^{4} + 8 (- 2 x^{2}) + 8 \cdot 1) (7 x^{2} - 1)$

解题步骤 2.11.9

化简。

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解题步骤 2.11.9.1

将 $- 2$ 乘以 $8$ 。

$f'' (x) = (8 x^{4} - 16 x^{2} + 8 \cdot 1) (7 x^{2} - 1)$

解题步骤 2.11.9.2

将 $8$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = (8 x^{4} - 16 x^{2} + 8) (7 x^{2} - 1)$

解题步骤 2.11.10

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(8 x^{4} - 16 x^{2} + 8) (7 x^{2} - 1)$ 。

$f'' (x) = 8 x^{4} (7 x^{2}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

解题步骤 2.11.11

化简每一项。

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解题步骤 2.11.11.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{4} x^{2}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

解题步骤 2.11.11.2

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.11.11.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = 8 \cdot (7 (x^{2} x^{4})) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

解题步骤 2.11.11.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{2 + 4}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

解题步骤 2.11.11.2.3

将 $2$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = 8 \cdot (7 x^{6}) + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

解题步骤 2.11.11.3

将 $8$ 乘以 $7$ 。

$f'' (x) = 56 x^{6} + 8 x^{4} \cdot - 1 - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

解题步骤 2.11.11.4

将 $- 1$ 乘以 $8$ 。

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 x^{2} (7 x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

解题步骤 2.11.11.5

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{2} x^{2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

解题步骤 2.11.11.6

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.11.11.6.1

移动 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 (x^{2} x^{2})) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

解题步骤 2.11.11.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{2 + 2}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

解题步骤 2.11.11.6.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 16 \cdot (7 x^{4}) - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

解题步骤 2.11.11.7

将 $- 16$ 乘以 $7$ 。

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} - 16 x^{2} \cdot - 1 + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

解题步骤 2.11.11.8

将 $- 1$ 乘以 $- 16$ 。

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 8 (7 x^{2}) + 8 \cdot - 1$

解题步骤 2.11.11.9

将 $7$ 乘以 $8$ 。

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} + 8 \cdot - 1$

解题步骤 2.11.11.10

将 $8$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 56 x^{6} - 8 x^{4} - 112 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} - 8$

解题步骤 2.11.12

从 $- 8 x^{4}$ 中减去 $112 x^{4}$ 。

$f'' (x) = 56 x^{6} - 120 x^{4} + 16 x^{2} + 56 x^{2} - 8$

解题步骤 2.11.13

将 $16 x^{2}$ 和 $56 x^{2}$ 相加。

$f'' (x) = 56 x^{6} - 120 x^{4} + 72 x^{2} - 8$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = x^{2} - 1$ 。

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解题步骤 4.1.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} - 1$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f' (x) = 4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

解题步骤 4.1.1.3

使用 $x^{2} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

解题步骤 4.1.2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x + 0)$

解题步骤 4.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 4 {(x^{2} - 1)}^{3} (2 x)$

解题步骤 4.1.2.4.2

将 $2$ 乘以 $4$ 。

$f' (x) = 8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$

解题步骤 4.1.2.4.3

重新排序 $8 {(x^{2} - 1)}^{3} x$ 的因式。

$f' (x) = 8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ 。

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

解题步骤 5.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

解题步骤 5.3

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.4

将 ${(x^{2} - 1)}^{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 ${(x^{2} - 1)}^{3}$ 设为等于 $0$ 。

${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 ${(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

对方程左边进行因式分解。

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解题步骤 5.4.2.1.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

${(x^{2} - 1^{2})}^{3} = 0$

解题步骤 5.4.2.1.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 1$ 。

${((x + 1) (x - 1))}^{3} = 0$

解题步骤 5.4.2.1.3

对 $(x + 1) (x - 1)$ 运用乘积法则。

${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3} = 0$

解题步骤 5.4.2.2

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x + 1)}^{3} = 0$

${(x - 1)}^{3} = 0$

解题步骤 5.4.2.3

将 ${(x + 1)}^{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.2.3.1

将 ${(x + 1)}^{3}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 1)}^{3} = 0$

解题步骤 5.4.2.3.2

求解 $x$ 的 ${(x + 1)}^{3} = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.3.2.1

将 $x + 1$ 设为等于 $0$ 。

$x + 1 = 0$

解题步骤 5.4.2.3.2.2

从等式两边同时减去 $1$ 。

$x = - 1$

解题步骤 5.4.2.4

将 ${(x - 1)}^{3}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.2.4.1

将 ${(x - 1)}^{3}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 1)}^{3} = 0$

解题步骤 5.4.2.4.2

求解 $x$ 的 ${(x - 1)}^{3} = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.4.2.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 5.4.2.4.2.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 5.4.2.5

最终解为使 ${(x + 1)}^{3} {(x - 1)}^{3} = 0$ 成立的所有值。

$x = - 1, 1$

解题步骤 5.5

最终解为使 $8 x {(x^{2} - 1)}^{3} = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, - 1, 1$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, - 1, 1$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$56 {(0)}^{6} - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$56 \cdot 0 - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

解题步骤 9.1.2

将 $56$ 乘以 $0$ 。

$0 - 120 {(0)}^{4} + 72 {(0)}^{2} - 8$

解题步骤 9.1.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 - 120 \cdot 0 + 72 {(0)}^{2} - 8$

解题步骤 9.1.4

将 $- 120$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 72 {(0)}^{2} - 8$

解题步骤 9.1.5

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$0 + 0 + 72 \cdot 0 - 8$

解题步骤 9.1.6

将 $72$ 乘以 $0$ 。

$0 + 0 + 0 - 8$

解题步骤 9.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 9.2.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 + 0 - 8$

解题步骤 9.2.2

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$0 - 8$

解题步骤 9.2.3

从 $0$ 中减去 $8$ 。

$- 8$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = {({(0)}^{2} - 1)}^{4}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = {(0 - 1)}^{4}$

解题步骤 11.2.2

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$f (0) = {(- 1)}^{4}$

解题步骤 11.2.3

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (0) = 1$

解题步骤 11.2.4

最终答案为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 12

计算在 $x = - 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$56 {(- 1)}^{6} - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简每一项。

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解题步骤 13.1.1

对 $- 1$ 进行 $6$ 次方运算。

$56 \cdot 1 - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

解题步骤 13.1.2

将 $56$ 乘以 $1$ 。

$56 - 120 {(- 1)}^{4} + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

解题步骤 13.1.3

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$56 - 120 \cdot 1 + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

解题步骤 13.1.4

将 $- 120$ 乘以 $1$ 。

$56 - 120 + 72 {(- 1)}^{2} - 8$

解题步骤 13.1.5

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$56 - 120 + 72 \cdot 1 - 8$

解题步骤 13.1.6

将 $72$ 乘以 $1$ 。

$56 - 120 + 72 - 8$

解题步骤 13.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 13.2.1

从 $56$ 中减去 $120$ 。

$- 64 + 72 - 8$

解题步骤 13.2.2

将 $- 64$ 和 $72$ 相加。

$8 - 8$

解题步骤 13.2.3

从 $8$ 中减去 $8$ 。

$0$

解题步骤 14

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 14.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

解题步骤 14.2

将区间 $(- \infty, - 1)$ 内的任一数字（例如 $- 4$ ）代入一阶导数 $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.2.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 4) = 8 (- 4) {({(- 4)}^{2} - 1)}^{3}$

解题步骤 14.2.2

化简结果。

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解题步骤 14.2.2.1

将 $8$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (- 4) = - 32 {({(- 4)}^{2} - 1)}^{3}$

解题步骤 14.2.2.2

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 4) = - 32 {(16 - 1)}^{3}$

解题步骤 14.2.2.3

从 $16$ 中减去 $1$ 。

$f' (- 4) = - 32 \cdot 15^{3}$

解题步骤 14.2.2.4

对 $15$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 4) = - 32 \cdot 3375$

解题步骤 14.2.2.5

将 $- 32$ 乘以 $3375$ 。

$f' (- 4) = - 108000$

解题步骤 14.2.2.6

最终答案为 $- 108000$ 。

$- 108000$

解题步骤 14.3

将区间 $(- 1, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 0.5$ ）代入一阶导数 $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.3.1

使用表达式中的 $- 0.5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 0.5) = 8 (- 0.5) {({(- 0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

解题步骤 14.3.2

化简结果。

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解题步骤 14.3.2.1

将 $8$ 乘以 $- 0.5$ 。

$f' (- 0.5) = - 4 {({(- 0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

解题步骤 14.3.2.2

对 $- 0.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (- 0.5) = - 4 {(0.25 - 1)}^{3}$

解题步骤 14.3.2.3

从 $0.25$ 中减去 $1$ 。

$f' (- 0.5) = - 4 {(- 0.75)}^{3}$

解题步骤 14.3.2.4

对 $- 0.75$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (- 0.5) = - 4 \cdot - 0.421875$

解题步骤 14.3.2.5

将 $- 4$ 乘以 $- 0.421875$ 。

$f' (- 0.5) = 1.6875$

解题步骤 14.3.2.6

最终答案为 $1.6875$ 。

$1.6875$

解题步骤 14.4

将区间 $(0, 1)$ 内的任一数字（例如 $0.5$ ）代入一阶导数 $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.4.1

使用表达式中的 $0.5$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0.5) = 8 (0.5) {({(0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

解题步骤 14.4.2

化简结果。

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解题步骤 14.4.2.1

将 $8$ 乘以 $0.5$ 。

$f' (0.5) = 4 {({(0.5)}^{2} - 1)}^{3}$

解题步骤 14.4.2.2

对 $0.5$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (0.5) = 4 {(0.25 - 1)}^{3}$

解题步骤 14.4.2.3

从 $0.25$ 中减去 $1$ 。

$f' (0.5) = 4 {(- 0.75)}^{3}$

解题步骤 14.4.2.4

对 $- 0.75$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (0.5) = 4 \cdot - 0.421875$

解题步骤 14.4.2.5

将 $4$ 乘以 $- 0.421875$ 。

$f' (0.5) = - 1.6875$

解题步骤 14.4.2.6

最终答案为 $- 1.6875$ 。

$- 1.6875$

解题步骤 14.5

将区间 $(1, \infty)$ 内的任一数字（例如 $4$ ）代入一阶导数 $8 x {(x^{2} - 1)}^{3}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 14.5.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = 8 (4) {({(4)}^{2} - 1)}^{3}$

解题步骤 14.5.2

化简结果。

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解题步骤 14.5.2.1

将 $8$ 乘以 $4$ 。

$f' (4) = 32 {({(4)}^{2} - 1)}^{3}$

解题步骤 14.5.2.2

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$f' (4) = 32 {(16 - 1)}^{3}$

解题步骤 14.5.2.3

从 $16$ 中减去 $1$ 。

$f' (4) = 32 \cdot 15^{3}$

解题步骤 14.5.2.4

对 $15$ 进行 $3$ 次方运算。

$f' (4) = 32 \cdot 3375$

解题步骤 14.5.2.5

将 $32$ 乘以 $3375$ 。

$f' (4) = 108000$

解题步骤 14.5.2.6

最终答案为 $108000$ 。

$108000$

解题步骤 14.6

由于一阶导数在 $x = - 1$ 周围从负号变为正号，因此 $x = - 1$ 是极小值。

$x = - 1$ 是一个极小值

解题步骤 14.7

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围从正号变为负号，因此 $x = 0$ 是极大值。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 14.8

由于一阶导数在 $x = 1$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 1$ 是极小值。

$x = 1$ 是一个极小值

解题步骤 14.9

这些是 $f (x) = {(x^{2} - 1)}^{4}$ 的局部极值。

$x = - 1$ 是一个极小值

$x = 0$ 是一个极大值

$x = 1$ 是一个极小值

$x = - 1$ 是一个极小值

$x = 0$ 是一个极大值

$x = 1$ 是一个极小值

解题步骤 15

微积分学 示例

微积分学示例