微积分学示例

$f (x) = (x - 2) {(x - 3)}^{2}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

将 ${(x - 3)}^{2}$ 重写为 $(x - 3) (x - 3)$ 。

$\frac{d}{d x} [(x - 2) ((x - 3) (x - 3))]$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x (x - 3) - 3 (x - 3))]$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3))]$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

解题步骤 1.3.1.2

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3)]$

解题步骤 1.3.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 3 x - 3 x + 9)]$

解题步骤 1.3.2

从 $- 3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$\frac{d}{d x} [(x - 2) (x^{2} - 6 x + 9)]$

解题步骤 1.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 2$ 且 $g (x) = x^{2} - 6 x + 9$ 。

$(x - 2) \frac{d}{d x} [x^{2} - 6 x + 9] + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 1.5

求微分。

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解题步骤 1.5.1

根据加法法则， $x^{2} - 6 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$(x - 2) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 1.5.3

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x - 2) (2 x - 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 1.5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x - 2) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 1.5.5

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$(x - 2) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} [9]) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 1.5.6

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x - 2) (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 1.5.7

将 $2 x - 6$ 和 $0$ 相加。

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} [x - 2]$

解题步骤 1.5.8

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 1.5.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (1 + \frac{d}{d x} [- 2])$

解题步骤 1.5.10

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (1 + 0)$

解题步骤 1.5.11

化简表达式。

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解题步骤 1.5.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \cdot 1$

解题步骤 1.5.11.2

将 $x^{2} - 6 x + 9$ 乘以 $1$ 。

$(x - 2) (2 x - 6) + x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

运用分配律。

$(x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 1.6.2

运用分配律。

$x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 1.6.3

运用分配律。

$x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 1.6.4

合并项。

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解题步骤 1.6.4.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{1} x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 1.6.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{1} x^{1}) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 1.6.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 1.6.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 1.6.4.5

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 1.6.4.6

将 $- 6$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 x^{2} - 4 x - 6 \cdot x - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 1.6.4.7

将 $- 2$ 乘以 $- 6$ 。

$2 x^{2} - 4 x - 6 x + 12 + x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 1.6.4.8

从 $- 4 x$ 中减去 $6 x$ 。

$2 x^{2} - 10 x + 12 + x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 1.6.4.9

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$3 x^{2} - 10 x + 12 - 6 x + 9$

解题步骤 1.6.4.10

从 $- 10 x$ 中减去 $6 x$ 。

$3 x^{2} - 16 x + 12 + 9$

解题步骤 1.6.4.11

将 $12$ 和 $9$ 相加。

$3 x^{2} - 16 x + 21$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 16 x + 21$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [21]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (21)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (21)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (21)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 16 x) + \frac{d}{d x} (21)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 6 x - 16 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (21)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (21)$

解题步骤 2.3.3

将 $- 16$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 16 + \frac{d}{d x} (21)$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $21$ 对于 $x$ 是常数，所以 $21$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 6 x - 16 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $6 x - 16$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 6 x - 16$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$3 x^{2} - 16 x + 21 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

将 ${(x - 3)}^{2}$ 重写为 $(x - 3) (x - 3)$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) ((x - 3) (x - 3)))$

解题步骤 4.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(x - 3) (x - 3)$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x (x - 3) - 3 (x - 3)))$

解题步骤 4.1.2.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 (x - 3)))$

解题步骤 4.1.2.3

运用分配律。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x \cdot x + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3))$

解题步骤 4.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.3.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x^{2} + x \cdot - 3 - 3 x - 3 \cdot - 3))$

解题步骤 4.1.3.1.2

将 $- 3$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x^{2} - 3 \cdot x - 3 x - 3 \cdot - 3))$

解题步骤 4.1.3.1.3

将 $- 3$ 乘以 $- 3$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x^{2} - 3 x - 3 x + 9))$

解题步骤 4.1.3.2

从 $- 3 x$ 中减去 $3 x$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} ((x - 2) (x^{2} - 6 x + 9))$

解题步骤 4.1.4

$f' (x) = (x - 2) \frac{d}{d x} (x^{2} - 6 x + 9) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

解题步骤 4.1.5

求微分。

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解题步骤 4.1.5.1

根据加法法则， $x^{2} - 6 x + 9$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x] + \frac{d}{d x} [9]$ 。

$f' (x) = (x - 2) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

解题步骤 4.1.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = (x - 2) (2 x + \frac{d}{d x} (- 6 x) + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

解题步骤 4.1.5.3

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

解题步骤 4.1.5.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

解题步骤 4.1.5.5

将 $- 6$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6 + \frac{d}{d x} (9)) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

解题步骤 4.1.5.6

因为 $9$ 对于 $x$ 是常数，所以 $9$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6 + 0) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

解题步骤 4.1.5.7

将 $2 x - 6$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \frac{d}{d x} (x - 2)$

解题步骤 4.1.5.8

根据加法法则， $x - 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ 。

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 2))$

解题步骤 4.1.5.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (1 + \frac{d}{d x} (- 2))$

解题步骤 4.1.5.10

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) (1 + 0)$

解题步骤 4.1.5.11

化简表达式。

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解题步骤 4.1.5.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + (x^{2} - 6 x + 9) \cdot 1$

解题步骤 4.1.5.11.2

将 $x^{2} - 6 x + 9$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = (x - 2) (2 x - 6) + x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 4.1.6

化简。

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解题步骤 4.1.6.1

运用分配律。

$f' (x) = (x - 2) (2 x) + (x - 2) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 4.1.6.2

运用分配律。

$f' (x) = x (2 x) - 2 (2 x) + (x - 2) \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 4.1.6.3

运用分配律。

$f' (x) = x (2 x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 4.1.6.4

合并项。

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解题步骤 4.1.6.4.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 4.1.6.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 4.1.6.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 4.1.6.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = 2 x^{2} - 2 (2 x) + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 4.1.6.4.5

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x + x \cdot - 6 - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 4.1.6.4.6

将 $- 6$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x - 6 \cdot x - 2 \cdot - 6 + x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 4.1.6.4.7

将 $- 2$ 乘以 $- 6$ 。

$f' (x) = 2 x^{2} - 4 x - 6 x + 12 + x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 4.1.6.4.8

从 $- 4 x$ 中减去 $6 x$ 。

$f' (x) = 2 x^{2} - 10 x + 12 + x^{2} - 6 x + 9$

解题步骤 4.1.6.4.9

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 10 x + 12 - 6 x + 9$

解题步骤 4.1.6.4.10

从 $- 10 x$ 中减去 $6 x$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + 12 + 9$

解题步骤 4.1.6.4.11

将 $12$ 和 $9$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 x + 21$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 16 x + 21$ 。

$3 x^{2} - 16 x + 21$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 16 x + 21 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 16 x + 21 = 0$

解题步骤 5.2

分组因式分解。

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解题步骤 5.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot 21 = 63$ 并且它们的和为 $b = - 16$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $- 16 x$ 中分解出因数 $- 16$ 。

$3 x^{2} - 16 x + 21 = 0$

解题步骤 5.2.1.2

把 $- 16$ 重写为 $- 7$ 加 $- 9$

$3 x^{2} + (- 7 - 9) x + 21 = 0$

解题步骤 5.2.1.3

运用分配律。

$3 x^{2} - 7 x - 9 x + 21 = 0$

解题步骤 5.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(3 x^{2} - 7 x) - 9 x + 21 = 0$

解题步骤 5.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x (3 x - 7) - 3 (3 x - 7) = 0$

解题步骤 5.2.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x - 7$ 来因式分解多项式。

$(3 x - 7) (x - 3) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 x - 7 = 0$

$x - 3 = 0$

解题步骤 5.4

将 $3 x - 7$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $3 x - 7$ 设为等于 $0$ 。

$3 x - 7 = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $3 x - 7 = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

在等式两边都加上 $7$ 。

$3 x = 7$

解题步骤 5.4.2.2

将 $3 x = 7$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 5.4.2.2.1

将 $3 x = 7$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

解题步骤 5.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

解题步骤 5.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{7}{3}$

解题步骤 5.5

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 5.5.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 5.6

最终解为使 $(3 x - 7) (x - 3) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{7}{3}, 3$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \frac{7}{3}, 3$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{7}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (\frac{7}{3}) - 16$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (2) \frac{7}{3} - 16$

解题步骤 9.1.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 2 \frac{7}{3} - 16$

解题步骤 9.1.1.3

重写表达式。

$2 \cdot 7 - 16$

解题步骤 9.1.2

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$14 - 16$

解题步骤 9.2

从 $14$ 中减去 $16$ 。

$- 2$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{7}{3}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{7}{3}$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = \frac{7}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{7}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{7}{3}) = ((\frac{7}{3}) - 2) {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

要将 $- 2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{7}{3}) = (\frac{7}{3} - 2 \cdot \frac{3}{3}) {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

解题步骤 11.2.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{7}{3}) = (\frac{7}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3}) {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

解题步骤 11.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{7 - 2 \cdot 3}{3} \cdot {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

解题步骤 11.2.4

化简分子。

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解题步骤 11.2.4.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{7 - 6}{3} \cdot {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

解题步骤 11.2.4.2

从 $7$ 中减去 $6$ 。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {((\frac{7}{3}) - 3)}^{2}$

解题步骤 11.2.5

要将 $- 3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{7}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3})}^{2}$

解题步骤 11.2.6

组合 $- 3$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{7}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3})}^{2}$

解题步骤 11.2.7

在公分母上合并分子。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{7 - 3 \cdot 3}{3})}^{2}$

解题步骤 11.2.8

化简分子。

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解题步骤 11.2.8.1

将 $- 3$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{7 - 9}{3})}^{2}$

解题步骤 11.2.8.2

从 $7$ 中减去 $9$ 。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(\frac{- 2}{3})}^{2}$

解题步骤 11.2.9

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot {(- \frac{2}{3})}^{2}$

解题步骤 11.2.10

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 11.2.10.1

对 $- \frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} {(\frac{2}{3})}^{2})$

解题步骤 11.2.10.2

对 $\frac{2}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot ({(- 1)}^{2} (\frac{2^{2}}{3^{2}}))$

解题步骤 11.2.11

化简表达式。

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解题步骤 11.2.11.1

对 $- 1$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot (1 (\frac{2^{2}}{3^{2}}))$

解题步骤 11.2.11.2

将 $\frac{2^{2}}{3^{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1}{3} \cdot \frac{2^{2}}{3^{2}}$

解题步骤 11.2.12

合并。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{3 \cdot 3^{2}}$

解题步骤 11.2.13

通过指数相加将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 11.2.13.1

将 $3$ 乘以 $3^{2}$ 。

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解题步骤 11.2.13.1.1

对 $3$ 进行 $1$ 次方运算。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{3 \cdot 3^{2}}$

解题步骤 11.2.13.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{3^{1 + 2}}$

解题步骤 11.2.13.2

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{1 \cdot 2^{2}}{3^{3}}$

解题步骤 11.2.14

将 $2^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{2^{2}}{3^{3}}$

解题步骤 11.2.15

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{4}{3^{3}}$

解题步骤 11.2.16

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{7}{3}) = \frac{4}{27}$

解题步骤 11.2.17

最终答案为 $\frac{4}{27}$ 。

$y = \frac{4}{27}$

解题步骤 12

计算在 $x = 3$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (3) - 16$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

将 $6$ 乘以 $3$ 。

$18 - 16$

解题步骤 13.2

从 $18$ 中减去 $16$ 。

$2$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 3$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 3$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = 3$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = ((3) - 2) {((3) - 3)}^{2}$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$f (3) = 1 {((3) - 3)}^{2}$

解题步骤 15.2.2

将 ${((3) - 3)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f (3) = {((3) - 3)}^{2}$

解题步骤 15.2.3

从 $3$ 中减去 $3$ 。

$f (3) = 0^{2}$

解题步骤 15.2.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (3) = 0$

解题步骤 15.2.5

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = (x - 2) {(x - 3)}^{2}$ 的局部极值。

$(\frac{7}{3}, \frac{4}{27})$ 是一个局部最大值

$(3, 0)$ 是一个局部最小值

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例