微积分学示例

$f (x) = (x - 6) (x^{2} - 12 x - 72)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x - 6$ 且 $g (x) = x^{2} - 12 x - 72$ 。

$(x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x - 72] + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 12 x - 72$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ 。

$(x - 6) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 72]) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$(x - 6) (2 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 72]) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

解题步骤 1.2.3

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$(x - 6) (2 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 72]) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x - 6) (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 72]) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

解题步骤 1.2.5

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$(x - 6) (2 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 72]) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

解题步骤 1.2.6

因为 $- 72$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 72$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x - 6) (2 x - 12 + 0) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

解题步骤 1.2.7

将 $2 x - 12$ 和 $0$ 相加。

$(x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

解题步骤 1.2.8

根据加法法则， $x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$(x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$(x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

解题步骤 1.2.10

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$(x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (1 + 0)$

解题步骤 1.2.11

化简表达式。

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解题步骤 1.2.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$(x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) \cdot 1$

解题步骤 1.2.11.2

将 $x^{2} - 12 x - 72$ 乘以 $1$ 。

$(x - 6) (2 x - 12) + x^{2} - 12 x - 72$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$(x - 6) (2 x) + (x - 6) \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

解题步骤 1.3.2

运用分配律。

$x (2 x) - 6 (2 x) + (x - 6) \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

解题步骤 1.3.3

运用分配律。

$x (2 x) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

解题步骤 1.3.4

合并项。

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解题步骤 1.3.4.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{1} x) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

解题步骤 1.3.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$2 (x^{1} x^{1}) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

解题步骤 1.3.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$2 x^{1 + 1} - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

解题步骤 1.3.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$2 x^{2} - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

解题步骤 1.3.4.5

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$2 x^{2} - 12 x + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

解题步骤 1.3.4.6

将 $- 12$ 移到 $x$ 的左侧。

$2 x^{2} - 12 x - 12 \cdot x - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

解题步骤 1.3.4.7

将 $- 6$ 乘以 $- 12$ 。

$2 x^{2} - 12 x - 12 x + 72 + x^{2} - 12 x - 72$

解题步骤 1.3.4.8

从 $- 12 x$ 中减去 $12 x$ 。

$2 x^{2} - 24 x + 72 + x^{2} - 12 x - 72$

解题步骤 1.3.4.9

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$3 x^{2} - 24 x + 72 - 12 x - 72$

解题步骤 1.3.4.10

从 $- 24 x$ 中减去 $12 x$ 。

$3 x^{2} - 36 x + 72 - 72$

解题步骤 1.3.4.11

从 $72$ 中减去 $72$ 。

$3 x^{2} - 36 x + 0$

解题步骤 1.3.4.12

将 $3 x^{2} - 36 x$ 和 $0$ 相加。

$3 x^{2} - 36 x$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 36 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 36 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 6 x - 36 \frac{d}{d x} x$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 36 \cdot 1$

解题步骤 2.3.3

将 $- 36$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 36$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$3 x^{2} - 36 x = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

$f' (x) = (x - 6) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12 x - 72) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $x^{2} - 12 x - 72$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ 。

$f' (x) = (x - 6) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 72)) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = (x - 6) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 72)) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

解题步骤 4.1.2.3

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 72)) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

解题步骤 4.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 72)) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

解题步骤 4.1.2.5

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12 + \frac{d}{d x} (- 72)) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

解题步骤 4.1.2.6

因为 $- 72$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 72$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12 + 0) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

解题步骤 4.1.2.7

将 $2 x - 12$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

解题步骤 4.1.2.8

根据加法法则， $x - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6))$

解题步骤 4.1.2.9

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (1 + \frac{d}{d x} (- 6))$

解题步骤 4.1.2.10

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (1 + 0)$

解题步骤 4.1.2.11

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.11.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) \cdot 1$

解题步骤 4.1.2.11.2

将 $x^{2} - 12 x - 72$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + x^{2} - 12 x - 72$

解题步骤 4.1.3

化简。

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解题步骤 4.1.3.1

运用分配律。

$f' (x) = (x - 6) (2 x) + (x - 6) \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

解题步骤 4.1.3.2

运用分配律。

$f' (x) = x (2 x) - 6 (2 x) + (x - 6) \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

解题步骤 4.1.3.3

运用分配律。

$f' (x) = x (2 x) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

解题步骤 4.1.3.4

合并项。

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解题步骤 4.1.3.4.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

解题步骤 4.1.3.4.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

解题步骤 4.1.3.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

解题步骤 4.1.3.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = 2 x^{2} - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

解题步骤 4.1.3.4.5

将 $2$ 乘以 $- 6$ 。

$f' (x) = 2 x^{2} - 12 x + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

解题步骤 4.1.3.4.6

将 $- 12$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = 2 x^{2} - 12 x - 12 \cdot x - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

解题步骤 4.1.3.4.7

将 $- 6$ 乘以 $- 12$ 。

$f' (x) = 2 x^{2} - 12 x - 12 x + 72 + x^{2} - 12 x - 72$

解题步骤 4.1.3.4.8

从 $- 12 x$ 中减去 $12 x$ 。

$f' (x) = 2 x^{2} - 24 x + 72 + x^{2} - 12 x - 72$

解题步骤 4.1.3.4.9

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 72 - 12 x - 72$

解题步骤 4.1.3.4.10

从 $- 24 x$ 中减去 $12 x$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x + 72 - 72$

解题步骤 4.1.3.4.11

从 $72$ 中减去 $72$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x + 0$

解题步骤 4.1.3.4.12

将 $3 x^{2} - 36 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 36 x$ 。

$3 x^{2} - 36 x$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 36 x = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 36 x = 0$

解题步骤 5.2

从 $3 x^{2} - 36 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

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解题步骤 5.2.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$3 x (x) - 36 x = 0$

解题步骤 5.2.2

从 $- 36 x$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$3 x (x) + 3 x (- 12) = 0$

解题步骤 5.2.3

从 $3 x (x) + 3 x (- 12)$ 中分解出因数 $3 x$ 。

$3 x (x - 12) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x = 0$

$x - 12 = 0$

解题步骤 5.4

将 $x$ 设为等于 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 5.5

将 $x - 12$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $x - 12$ 设为等于 $0$ 。

$x - 12 = 0$

解题步骤 5.5.2

在等式两边都加上 $12$ 。

$x = 12$

解题步骤 5.6

最终解为使 $3 x (x - 12) = 0$ 成立的所有值。

$x = 0, 12$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0, 12$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (0) - 36$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

将 $6$ 乘以 $0$ 。

$0 - 36$

解题步骤 9.2

从 $0$ 中减去 $36$ 。

$- 36$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = ((0) - 6) ({(0)}^{2} - 12 \cdot 0 - 72)$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

从 $0$ 中减去 $6$ 。

$f (0) = - 6 ({(0)}^{2} - 12 \cdot 0 - 72)$

解题步骤 11.2.2

化简每一项。

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解题步骤 11.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = - 6 (0 - 12 \cdot 0 - 72)$

解题步骤 11.2.2.2

将 $- 12$ 乘以 $0$ 。

$f (0) = - 6 (0 + 0 - 72)$

解题步骤 11.2.3

化简表达式。

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解题步骤 11.2.3.1

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$f (0) = - 6 (0 - 72)$

解题步骤 11.2.3.2

从 $0$ 中减去 $72$ 。

$f (0) = - 6 \cdot - 72$

解题步骤 11.2.3.3

将 $- 6$ 乘以 $- 72$ 。

$f (0) = 432$

解题步骤 11.2.4

最终答案为 $432$ 。

$y = 432$

解题步骤 12

计算在 $x = 12$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (12) - 36$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

将 $6$ 乘以 $12$ 。

$72 - 36$

解题步骤 13.2

从 $72$ 中减去 $36$ 。

$36$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 12$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 12$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = 12$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $12$ 替换变量 $x$ 。

$f (12) = ((12) - 6) ({(12)}^{2} - 12 \cdot 12 - 72)$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

从 $12$ 中减去 $6$ 。

$f (12) = 6 ({(12)}^{2} - 12 \cdot 12 - 72)$

解题步骤 15.2.2

化简每一项。

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解题步骤 15.2.2.1

对 $12$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (12) = 6 (144 - 12 \cdot 12 - 72)$

解题步骤 15.2.2.2

将 $- 12$ 乘以 $12$ 。

$f (12) = 6 (144 - 144 - 72)$

解题步骤 15.2.3

化简表达式。

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解题步骤 15.2.3.1

从 $144$ 中减去 $144$ 。

$f (12) = 6 (0 - 72)$

解题步骤 15.2.3.2

从 $0$ 中减去 $72$ 。

$f (12) = 6 \cdot - 72$

解题步骤 15.2.3.3

将 $6$ 乘以 $- 72$ 。

$f (12) = - 432$

解题步骤 15.2.4

最终答案为 $- 432$ 。

$y = - 432$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = (x - 6) (x^{2} - 12 x - 72)$ 的局部极值。

$(0, 432)$ 是一个局部最大值

$(12, - 432)$ 是一个局部最小值

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例