微积分学示例

$f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 16}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} - 16$ 。

$\frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{(x^{2} - 16) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

将 $2$ 移到 $x^{2} - 16$ 的左侧。

$\frac{2 \cdot (x^{2} - 16) x - x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 16]}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

根据加法法则， $x^{2} - 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [- 16])}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.2.5

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 1.2.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 (x^{1} x^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

运用分配律。

$\frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.6.2

运用分配律。

$\frac{2 x^{2} x + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.6.3

化简分子。

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解题步骤 1.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.6.3.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.6.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$\frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.6.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.6.3.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{2 (x^{1} x^{2}) + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.6.3.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.6.3.1.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$\frac{2 x^{3} + 2 \cdot - 16 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.6.3.1.2

将 $2$ 乘以 $- 16$ 。

$\frac{2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.6.3.2

合并 $2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 1.6.3.2.1

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$\frac{- 32 x + 0}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.6.3.2.2

将 $- 32 x$ 和 $0$ 相加。

$\frac{- 32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.6.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 1.6.5

化简分母。

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解题步骤 1.6.5.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$- \frac{32 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

解题步骤 1.6.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$- \frac{32 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

解题步骤 1.6.5.3

对 $(x + 4) (x - 4)$ 运用乘积法则。

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 32$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 32 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}]$ 。

$f'' (x) = - 32 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$ 。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3.2

将 ${(x + 4)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = {(x + 4)}^{2}$ 且 $g (x) = {(x - 4)}^{2}$ 。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x ({(x + 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x - 4$ 。

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解题步骤 2.5.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $x - 4$ 。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x ({(x + 4)}^{2} (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{2}) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x ({(x + 4)}^{2} (2 u_{1} \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.5.3

使用 $x - 4$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x ({(x + 4)}^{2} (2 (x - 4) \frac{d}{d x} (x - 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6

求微分。

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解题步骤 2.6.1

将 $2$ 移到 ${(x + 4)}^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 \cdot ({(x + 4)}^{2} (x - 4)) \frac{d}{d x} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6.2

根据加法法则， $x - 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ 。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} (- 4)) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6.4

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) (1 + 0) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6.5

化简表达式。

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解题步骤 2.6.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) \cdot 1 + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.6.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} ({(x + 4)}^{2}))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x + 4$ 。

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解题步骤 2.7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $x + 4$ 。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{2}) \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.7.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (2 u_{2} \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.7.3

使用 $x + 4$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + {(x - 4)}^{2} (2 (x + 4) \frac{d}{d x} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8

求微分。

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解题步骤 2.8.1

将 $2$ 移到 ${(x - 4)}^{2}$ 的左侧。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 \cdot ({(x - 4)}^{2} (x + 4)) \frac{d}{d x} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8.2

根据加法法则， $x + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} (4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8.4

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) (1 + 0))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8.5

合并分数。

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解题步骤 2.8.5.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4) \cdot 1)}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8.5.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 32 \frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8.5.3

组合 $- 32$ 和 $\frac{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 32 ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.8.5.4

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{(32) ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9

化简。

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解题步骤 2.9.1

对 ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$ 运用乘积法则。

$f'' (x) = - \frac{32 ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4) + 2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.2

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{32 ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} - x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4)) - x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.3

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{32 ({(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}) + 32 (- x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4))) + 32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4

化简分子。

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解题步骤 2.9.4.1

从 $32 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} + 32 (- x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4))) + 32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))$ 中分解出因数 $32 (x + 4) (x - 4)$ 。

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解题步骤 2.9.4.1.1

从 $32 {(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}$ 中分解出因数 $32 (x + 4) (x - 4)$ 。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4)) + 32 (- x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4))) + 32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.1.2

从 $32 (- x (2 {(x + 4)}^{2} (x - 4)))$ 中分解出因数 $32 (x + 4) (x - 4)$ 。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4)) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x + 4))) + 32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.1.3

从 $32 (- x (2 {(x - 4)}^{2} (x + 4)))$ 中分解出因数 $32 (x + 4) (x - 4)$ 。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4)) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x + 4))) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x - 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.1.4

从 $32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4)) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x + 4)))$ 中分解出因数 $32 (x + 4) (x - 4)$ 。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - x (2 (x + 4))) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x - 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.1.5

从 $32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - x (2 (x + 4))) + 32 (x + 4) (x - 4) (- x (2 (x - 4)))$ 中分解出因数 $32 (x + 4) (x - 4)$ 。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - x (2 (x + 4)) - x (2 (x - 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.2

合并指数。

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解题步骤 2.9.4.2.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - 2 x (x + 4) - x (2 (x - 4)))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.2.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) ((x + 4) (x - 4) - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3

化简每一项。

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解题步骤 2.9.4.3.1

使用 FOIL 方法展开 $(x + 4) (x - 4)$ 。

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解题步骤 2.9.4.3.1.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x (x - 4) + 4 (x - 4) - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.1.2

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 (x - 4) - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.1.3

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.2

合并 $x \cdot x + x \cdot - 4 + 4 x + 4 \cdot - 4$ 中相反的项。

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解题步骤 2.9.4.3.2.1

按照 $x \cdot - 4$ 和 $4 x$ 重新排列因数。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x - 4 x + 4 x + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.2.2

将 $- 4 x$ 和 $4 x$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x + 0 + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.2.3

将 $x \cdot x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x \cdot x + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.3

化简每一项。

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解题步骤 2.9.4.3.3.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} + 4 \cdot - 4 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.3.2

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x (x + 4) - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.4

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x \cdot x - 2 x \cdot 4 - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.5

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.9.4.3.5.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot 4 - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.5.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 2 x \cdot 4 - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.6

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x (x - 4))}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.7

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x \cdot x - 2 x \cdot - 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.8

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.9.4.3.8.1

移动 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 (x \cdot x) - 2 x \cdot - 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.8.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} - 2 x \cdot - 4)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.3.9

将 $- 4$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} + 8 x)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.4

合并 $x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 8 x - 2 x^{2} + 8 x$ 中相反的项。

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解题步骤 2.9.4.4.1

将 $- 8 x$ 和 $8 x$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 2 x^{2} + 0)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.4.2

将 $x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 2 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (x^{2} - 16 - 2 x^{2} - 2 x^{2})}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.5

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- x^{2} - 16 - 2 x^{2})}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.4.6

从 $- x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{({(x + 4)}^{2})}^{2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.5

合并项。

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解题步骤 2.9.5.1

将 ${({(x + 4)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.9.5.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{2 \cdot 2} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.5.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{4} {({(x - 4)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.9.5.2

将 ${({(x - 4)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.9.5.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.9.5.2.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - \frac{32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

解题步骤 2.9.5.3

约去 $x + 4$ 和 ${(x + 4)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.9.5.3.1

从 $32 (x + 4) (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)$ 中分解出因数 $x + 4$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x + 4) ((32 (x - 4)) (- 3 x^{2} - 16))}{{(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}}$

解题步骤 2.9.5.3.2

约去公因数。

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解题步骤 2.9.5.3.2.1

从 ${(x + 4)}^{4} {(x - 4)}^{4}$ 中分解出因数 $x + 4$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x + 4) ((32 (x - 4)) (- 3 x^{2} - 16))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

解题步骤 2.9.5.3.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = - \frac{(x + 4) ((32 (x - 4)) (- 3 x^{2} - 16))}{(x + 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4})}$

解题步骤 2.9.5.3.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{(32 (x - 4)) (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

解题步骤 2.9.5.4

约去 $x - 4$ 和 ${(x - 4)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.9.5.4.1

从 $32 (x - 4) (- 3 x^{2} - 16)$ 中分解出因数 $x - 4$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (32 (- 3 x^{2} - 16))}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}}$

解题步骤 2.9.5.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.9.5.4.2.1

从 ${(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{4}$ 中分解出因数 $x - 4$ 。

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (32 (- 3 x^{2} - 16))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

解题步骤 2.9.5.4.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = - \frac{(x - 4) (32 (- 3 x^{2} - 16))}{(x - 4) ({(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3})}$

解题步骤 2.9.5.4.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{32 (- 3 x^{2} - 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

解题步骤 2.9.6

从 $- 3 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{32 (- (3 x^{2}) - 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

解题步骤 2.9.7

将 $- 16$ 重写为 $- 1 (16)$ 。

$f'' (x) = - \frac{32 (- (3 x^{2}) - 1 \cdot 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

解题步骤 2.9.8

从 $- (3 x^{2}) - 1 (16)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{32 (- (3 x^{2} + 16))}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

解题步骤 2.9.9

将 $- (3 x^{2} + 16)$ 重写为 $- 1 (3 x^{2} + 16)$ 。

$f'' (x) = - \frac{32 (- 1 (3 x^{2} + 16))}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

解题步骤 2.9.10

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

解题步骤 2.9.11

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = 1 (\frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}})$

解题步骤 2.9.12

将 $\frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{32 (3 x^{2} + 16)}{{(x + 4)}^{3} {(x - 4)}^{3}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) \frac{d}{d x} (x^{2}) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{(x^{2} - 16) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $2$ 移到 $x^{2} - 16$ 的左侧。

$f' (x) = \frac{2 \cdot ((x^{2} - 16) x) - x^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} - 16)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.3

根据加法法则， $x^{2} - 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16]$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (- 16))}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.5

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x + 0)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.6

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - x^{2} (2 x)}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{2} x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 (x \cdot x^{2})}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{1 + 2}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.5

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 (x^{2} - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6

化简。

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解题步骤 4.1.6.1

运用分配律。

$f' (x) = \frac{(2 x^{2} + 2 \cdot - 16) x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.2

运用分配律。

$f' (x) = \frac{2 x^{2} x + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.3

化简分子。

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解题步骤 4.1.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.6.3.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.6.3.1.1.1

移动 $x$ 。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.3.1.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.1.6.3.1.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{2 (x \cdot x^{2}) + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.3.1.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.3.1.1.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} + 2 \cdot (- 16 x) - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.3.1.2

将 $2$ 乘以 $- 16$ 。

$f' (x) = \frac{2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.3.2

合并 $2 x^{3} - 32 x - 2 x^{3}$ 中相反的项。

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解题步骤 4.1.6.3.2.1

从 $2 x^{3}$ 中减去 $2 x^{3}$ 。

$f' (x) = \frac{- 32 x + 0}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.3.2.2

将 $- 32 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = \frac{- 32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.4

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x^{2} - 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.5

化简分母。

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解题步骤 4.1.6.5.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x^{2} - 4^{2})}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.5.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 4$ 。

$f' (x) = - \frac{32 x}{{((x + 4) (x - 4))}^{2}}$

解题步骤 4.1.6.5.3

对 $(x + 4) (x - 4)$ 运用乘积法则。

$f' (x) = - \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ 。

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$32 x = 0$

解题步骤 5.3

将 $32 x = 0$ 中的每一项除以 $32$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $32 x = 0$ 中的每一项都除以 $32$ 。

$\frac{32 x}{32} = \frac{0}{32}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $32$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{32 x}{32} = \frac{0}{32}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{0}{32}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

用 $0$ 除以 $32$ 。

$x = 0$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{32 x}{{(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

${(x + 4)}^{2} = 0$

${(x - 4)}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.2

将 ${(x + 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

将 ${(x + 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x + 4)}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.2.2

求解 $x$ 的 ${(x + 4)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 6.2.2.2.1

将 $x + 4$ 设为等于 $0$ 。

$x + 4 = 0$

解题步骤 6.2.2.2.2

从等式两边同时减去 $4$ 。

$x = - 4$

解题步骤 6.2.3

将 ${(x - 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.3.1

将 ${(x - 4)}^{2}$ 设为等于 $0$ 。

${(x - 4)}^{2} = 0$

解题步骤 6.2.3.2

求解 $x$ 的 ${(x - 4)}^{2} = 0$ 。

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解题步骤 6.2.3.2.1

将 $x - 4$ 设为等于 $0$ 。

$x - 4 = 0$

解题步骤 6.2.3.2.2

在等式两边都加上 $4$ 。

$x = 4$

解题步骤 6.2.4

最终解为使 ${(x + 4)}^{2} {(x - 4)}^{2} = 0$ 成立的所有值。

$x = - 4, 4$

解题步骤 6.3

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x = - 4, x = 4$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{32 (3 {(0)}^{2} + 16)}{{((0) + 4)}^{3} {((0) - 4)}^{3}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{32 (3 \cdot 0 + 16)}{{(0 + 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

解题步骤 9.1.2

将 $3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{32 (0 + 16)}{{(0 + 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

解题步骤 9.1.3

将 $0$ 和 $16$ 相加。

$\frac{32 \cdot 16}{{(0 + 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

将 $0$ 重写为 $- 1 (0)$ 。

$\frac{32 \cdot 16}{{(- 1 (0) + 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2

将 $4$ 重写为 $- 1 (- 4)$ 。

$\frac{32 \cdot 16}{{(- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

解题步骤 9.2.3

从 $- 1 \cdot 0 - 1 \cdot - 4$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{32 \cdot 16}{{(- 1 \cdot (0 - 4))}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

解题步骤 9.2.4

对 $- 1 \cdot (0 - 4)$ 运用乘积法则。

$\frac{32 \cdot 16}{{(- 1)}^{3} \cdot {(0 - 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

解题步骤 9.2.5

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{32 \cdot 16}{- 1 \cdot {(0 - 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3}}$

解题步骤 9.2.6

通过指数相加将 ${(0 - 4)}^{3}$ 乘以 ${(0 - 4)}^{3}$ 。

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解题步骤 9.2.6.1

移动 ${(0 - 4)}^{3}$ 。

$\frac{32 \cdot 16}{- 1 \cdot ({(0 - 4)}^{3} {(0 - 4)}^{3})}$

解题步骤 9.2.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{32 \cdot 16}{- 1 \cdot {(0 - 4)}^{3 + 3}}$

解题步骤 9.2.6.3

将 $3$ 和 $3$ 相加。

$\frac{32 \cdot 16}{- 1 \cdot {(0 - 4)}^{6}}$

解题步骤 9.3

将 $32$ 乘以 $16$ 。

$\frac{512}{- 1 \cdot {(0 - 4)}^{6}}$

解题步骤 9.4

化简分母。

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解题步骤 9.4.1

从 $0$ 中减去 $4$ 。

$\frac{512}{- 1 {(- 4)}^{6}}$

解题步骤 9.4.2

对 $- 4$ 进行 $6$ 次方运算。

$\frac{512}{- 1 \cdot 4096}$

解题步骤 9.5

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 9.5.1

将 $- 1$ 乘以 $4096$ 。

$\frac{512}{- 4096}$

解题步骤 9.5.2

约去 $512$ 和 $- 4096$ 的公因数。

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解题步骤 9.5.2.1

从 $512$ 中分解出因数 $512$ 。

$\frac{512 (1)}{- 4096}$

解题步骤 9.5.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.5.2.2.1

从 $- 4096$ 中分解出因数 $512$ 。

$\frac{512 \cdot 1}{512 \cdot - 8}$

解题步骤 9.5.2.2.2

约去公因数。

$\frac{512 \cdot 1}{512 \cdot - 8}$

解题步骤 9.5.2.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{- 8}$

解题步骤 9.5.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{8}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 0$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 0$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f (0) = \frac{{(0)}^{2}}{{(0)}^{2} - 16}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \frac{0}{0^{2} - 16}$

解题步骤 11.2.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (0) = \frac{0}{0 - 16}$

解题步骤 11.2.2.2

从 $0$ 中减去 $16$ 。

$f (0) = \frac{0}{- 16}$

解题步骤 11.2.3

用 $0$ 除以 $- 16$ 。

$f (0) = 0$

解题步骤 11.2.4

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 16}$ 的局部极值。

$(0, 0)$ 是一个局部最大值

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例