微积分学示例

$f (x) = \frac{1}{x} + \ln (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $\frac{1}{x} + \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 1.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$- x^{- 2} + \frac{1}{x}$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}$

解题步骤 1.4.2

重新排序项。

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = - x^{- 2} + \frac{d}{d x} (- \frac{1}{x^{2}})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{x^{2}}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{1}{x^{2}}$ 。

$f'' (x) = - x^{- 2} - \frac{d}{d x} \cdot \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 重写为 ${(x^{2})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = - x^{- 2} - \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2}$ 。

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解题步骤 2.3.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = - x^{- 2} - (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.3.3

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.5

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.6

将 ${(x^{2})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.6.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.7

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- 2 x^{- 4} x) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.10

从 $1$ 中减去 $4$ 。

$f'' (x) = - x^{- 2} - (- 2 x^{- 3}) + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.11

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - x^{- 2} + 2 x^{- 3} + \frac{1}{x^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.3.12

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$f'' (x) = - x^{- 2} + 2 x^{- 3} + 0$

解题步骤 2.3.13

将 $2 x^{- 3}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - x^{- 2} + 2 x^{- 3}$

解题步骤 2.4

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 2 x^{- 3}$

解题步骤 2.5

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 2 (\frac{1}{x^{3}})$

解题步骤 2.6

组合 $2$ 和 $\frac{1}{x^{3}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{2}{x^{3}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $\frac{1}{x} + \ln (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $\frac{1}{x}$ 重写为 $x^{- 1}$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$- x^{- 2} + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

解题步骤 4.1.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$- x^{- 2} + \frac{1}{x}$

解题步骤 4.1.4

化简。

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解题步骤 4.1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x}$

解题步骤 4.1.4.2

重新排序项。

$f' (x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$ 。

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$

解题步骤 5.2

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.2.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x, x^{2}, 1$

解题步骤 5.2.2

由于 $x, x^{2}, 1$ 同时包括数值与变量，求最小公倍数的过程包含两步。求数值部分 $1, 1, 1$ 的最小公倍数，然后求变量部分 $x^{1}, x^{2}$ 的最小公倍数。

解题步骤 5.2.3

最小公倍数是能被所有数整除的最小正数。

1. 列出每个数的质因数。

2. 将每个因数乘以它在任一数字中出现的最大次数。

解题步骤 5.2.4

该数 $1$ 不是一个质数，因为它只有一个正因数，即其本身。

非质数

解题步骤 5.2.5

$1, 1, 1$ 的最小公倍数是将在任一数中出现次数最多的所有质因数相乘的结果。

$1$

解题步骤 5.2.6

$x^{1}$ 的因式是 $x$ 本身。

$x^{1} = x$

$x$ 出现了 $1$ 次。

解题步骤 5.2.7

$x^{2}$ 的因数为 $x \cdot x$ ，即 $x$ 连续相乘 $2$ 次。

$x^{2} = x \cdot x$

$x$ 出现了 $2$ 次。

解题步骤 5.2.8

$x^{1}, x^{2}$ 的最小公倍数为在任一数中出现次数最多的所有质因数的乘积。

$x \cdot x$

解题步骤 5.2.9

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$x^{2}$

解题步骤 5.3

将 $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 以消去分数。

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解题步骤 5.3.1

将 $\frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} = 0$ 中的每一项乘以 $x^{2}$ 。

$\frac{1}{x} x^{2} - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去 $x$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1.1

从 $x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.1.2

约去公因数。

$\frac{1}{x} (x \cdot x) - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.1.3

重写表达式。

$x - \frac{1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.2

约去 $x^{2}$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.2.1

将 $- \frac{1}{x^{2}}$ 中前置负号移到分子中。

$x + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.2.2

约去公因数。

$x + \frac{- 1}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

解题步骤 5.3.2.1.2.3

重写表达式。

$x - 1 = 0 x^{2}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $0$ 乘以 $x^{2}$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 5.4

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{1}{x}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x = 0$

解题步骤 6.2

将 $\frac{1}{x^{2}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{2} = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 6.3.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 6.3.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 6.3.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 6.3.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 1$

解题步骤 8

计算在 $x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{1}{{(1)}^{2}} + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

一的任意次幂都为一。

$- \frac{1}{1} + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.2

约去 $1$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.2.1

约去公因数。

$- \frac{1}{1} + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.2.2

重写表达式。

$- 1 \cdot 1 + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 1 + \frac{2}{{(1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.4

一的任意次幂都为一。

$- 1 + \frac{2}{1}$

解题步骤 9.1.5

用 $2$ 除以 $1$ 。

$- 1 + 2$

解题步骤 9.2

将 $- 1$ 和 $2$ 相加。

$1$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 1$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{1}{1} + \ln (1)$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

用 $1$ 除以 $1$ 。

$f (1) = 1 + \ln (1)$

解题步骤 11.2.1.2

$1$ 的自然对数为 $0$ 。

$f (1) = 1 + 0$

解题步骤 11.2.2

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$f (1) = 1$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $1$ 。

$y = 1$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = \frac{1}{x} + \ln (x)$ 的局部极值。

$(1, 1)$ 是一个局部最小值

解题步骤 13

微积分学 示例

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