微积分学示例

$f (x) = \frac{x}{1 + x^{4}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = 1 + x^{4}$ 。

$\frac{(1 + x^{4}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(1 + x^{4}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

将 $1 + x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

根据加法法则， $1 + x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{1 + x^{4} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 1.2.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1 + x^{4} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 1.2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{4}]$ 相加。

$\frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1 + x^{4} - x (4 x^{3})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 1.2.7

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 + x^{4} - 4 x \cdot x^{3}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 1.3.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x)}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x^{1})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 + x^{4} - 4 x^{3 + 1}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 + x^{4} - 4 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 1.4

从 $x^{4}$ 中减去 $4 x^{4}$ 。

$\frac{1 - 3 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 1.5

重新排序项。

$\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = - 3 x^{4} + 1$ 且 $g (x) = {(x^{4} + 1)}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{4} + 1) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.2

求微分。

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解题步骤 2.2.1

将 ${({(x^{4} + 1)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{4} + 1) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} \frac{d}{d x} (- 3 x^{4} + 1) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.2

根据加法法则， $- 3 x^{4} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 3 x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 3 x^{4}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.3

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 3 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (1)) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 3 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (1)) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.5

将 $4$ 乘以 $- 3$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3} + \frac{d}{d x} (1)) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3} + 0) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.2.7

将 $- 12 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - (- 3 x^{4} + 1) \frac{d}{d x} {(x^{4} + 1)}^{2}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{4} + 1$ 。

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解题步骤 2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{4} + 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - (- 3 x^{4} + 1) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{4} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - (- 3 x^{4} + 1) (2 u \frac{d}{d x} (x^{4} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.3.3

使用 $x^{4} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - (- 3 x^{4} + 1) (2 (x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x^{4} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) \frac{d}{d x} (x^{4} + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.4.2

根据加法法则， $x^{4} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (\frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{3} + \frac{d}{d x} (1)))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.4.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{3} + 0))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.4.5

化简表达式。

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解题步骤 2.4.5.1

将 $4 x^{3}$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) (4 x^{3}))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.4.5.2

将 $4$ 移到 $x^{4} + 1$ 的左侧。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 2 (- 3 x^{4} + 1) (4 \cdot ((x^{4} + 1) x^{3}))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.4.5.3

将 $4$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) - 8 (- 3 x^{4} + 1) ((x^{4} + 1) x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5

化简。

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解题步骤 2.5.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) ((x^{4} + 1) x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{{(x^{4} + 1)}^{2} (- 12 x^{3}) + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3

化简分子。

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解题步骤 2.5.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{- 12 {(x^{4} + 1)}^{2} x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.2

将 ${(x^{4} + 1)}^{2}$ 重写为 $(x^{4} + 1) (x^{4} + 1)$ 。

$f'' (x) = \frac{- 12 ((x^{4} + 1) (x^{4} + 1)) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(x^{4} + 1) (x^{4} + 1)$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.3.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{4} (x^{4} + 1) + 1 (x^{4} + 1)) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.3.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 1 + 1 (x^{4} + 1)) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.3.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{4} x^{4} + x^{4} \cdot 1 + 1 x^{4} + 1 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.5.3.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.3.1.4.1.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.4.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{4 + 4} + x^{4} \cdot 1 + 1 x^{4} + 1 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.4.1.1.2

将 $4$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{8} + x^{4} \cdot 1 + 1 x^{4} + 1 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.4.1.2

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{8} + x^{4} + 1 x^{4} + 1 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.4.1.3

将 $x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{8} + x^{4} + x^{4} + 1 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.4.1.4

将 $1$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{8} + x^{4} + x^{4} + 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.4.2

将 $x^{4}$ 和 $x^{4}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{8} + 2 x^{4} + 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.5

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{(- 12 x^{8} - 12 (2 x^{4}) - 12 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.6

化简。

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解题步骤 2.5.3.1.6.1

将 $2$ 乘以 $- 12$ 。

$f'' (x) = \frac{(- 12 x^{8} - 24 x^{4} - 12 \cdot 1) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.6.2

将 $- 12$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{(- 12 x^{8} - 24 x^{4} - 12) x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.7

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{8} x^{3} - 24 x^{4} x^{3} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.8

化简。

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解题步骤 2.5.3.1.8.1

通过指数相加将 $x^{8}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.8.1.1

移动 $x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 12 (x^{3} x^{8}) - 24 x^{4} x^{3} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.8.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{3 + 8} - 24 x^{4} x^{3} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.8.1.3

将 $3$ 和 $8$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{4} x^{3} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.8.2

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.8.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 (x^{3} x^{4}) - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.8.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{3 + 4} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.8.2.3

将 $3$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (- 8 (- 3 x^{4}) - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.9

化简每一项。

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解题步骤 2.5.3.1.9.1

将 $- 3$ 乘以 $- 8$ 。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (24 x^{4} - 8 \cdot 1) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.9.2

将 $- 8$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (24 x^{4} - 8) (x^{4} x^{3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.10

化简每一项。

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解题步骤 2.5.3.1.10.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.10.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (24 x^{4} - 8) (x^{4 + 3} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.10.1.2

将 $4$ 和 $3$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (24 x^{4} - 8) (x^{7} + 1 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.10.2

将 $x^{3}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + (24 x^{4} - 8) (x^{7} + x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.11

使用 FOIL 方法展开 $(24 x^{4} - 8) (x^{7} + x^{3})$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.11.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{4} (x^{7} + x^{3}) - 8 (x^{7} + x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.11.2

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{4} x^{7} + 24 x^{4} x^{3} - 8 (x^{7} + x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.11.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{4} x^{7} + 24 x^{4} x^{3} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.5.3.1.12.1

化简每一项。

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解题步骤 2.5.3.1.12.1.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{7}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.12.1.1.1

移动 $x^{7}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 (x^{7} x^{4}) + 24 x^{4} x^{3} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{7 + 4} + 24 x^{4} x^{3} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.1.1.3

将 $7$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{11} + 24 x^{4} x^{3} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.1.2

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.5.3.1.12.1.2.1

移动 $x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{11} + 24 (x^{3} x^{4}) - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{11} + 24 x^{3 + 4} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.1.2.3

将 $3$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{11} + 24 x^{7} - 8 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.1.12.2

从 $24 x^{7}$ 中减去 $8 x^{7}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 24 x^{11} + 16 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.2

将 $- 12 x^{11}$ 和 $24 x^{11}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{12 x^{11} - 24 x^{7} - 12 x^{3} + 16 x^{7} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.3

将 $- 24 x^{7}$ 和 $16 x^{7}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{12 x^{11} - 8 x^{7} - 12 x^{3} - 8 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.3.4

从 $- 12 x^{3}$ 中减去 $8 x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{12 x^{11} - 8 x^{7} - 20 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4

化简分子。

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解题步骤 2.5.4.1

从 $12 x^{11} - 8 x^{7} - 20 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x^{3}$ 。

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解题步骤 2.5.4.1.1

从 $12 x^{11}$ 中分解出因数 $4 x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{8}) - 8 x^{7} - 20 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.1.2

从 $- 8 x^{7}$ 中分解出因数 $4 x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{8}) + 4 x^{3} (- 2 x^{4}) - 20 x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.1.3

从 $- 20 x^{3}$ 中分解出因数 $4 x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{8}) + 4 x^{3} (- 2 x^{4}) + 4 x^{3} (- 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.1.4

从 $4 x^{3} (3 x^{8}) + 4 x^{3} (- 2 x^{4})$ 中分解出因数 $4 x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{8} - 2 x^{4}) + 4 x^{3} (- 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.1.5

从 $4 x^{3} (3 x^{8} - 2 x^{4}) + 4 x^{3} (- 5)$ 中分解出因数 $4 x^{3}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{8} - 2 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.2

将 $x^{8}$ 重写为 ${(x^{4})}^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 {(x^{4})}^{2} - 2 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.3

使 $u = x^{4}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{4}$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 u^{2} - 2 u - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.4

分组因式分解。

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解题步骤 2.5.4.4.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot - 5 = - 15$ 并且它们的和为 $b = - 2$ 。

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解题步骤 2.5.4.4.1.1

从 $- 2 u$ 中分解出因数 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 u^{2} - 2 u - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.2

把 $- 2$ 重写为 $3$ 加 $- 5$

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 u^{2} + (3 - 5) u - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.4.1.3

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 u^{2} + 3 u - 5 u - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.4.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 2.5.4.4.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} ((3 u^{2} + 3 u) - 5 u - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.4.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 u (u + 1) - 5 (u + 1))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.4.3

通过因式分解出最大公因数 $u + 1$ 来因式分解多项式。

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} ((u + 1) (3 u - 5))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.4.5

使用 $x^{4}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (x^{4} + 1) (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.5

约去 $x^{4} + 1$ 和 ${(x^{4} + 1)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.5.5.1

从 $4 x^{3} (x^{4} + 1) (3 x^{4} - 5)$ 中分解出因数 $x^{4} + 1$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{3} (3 x^{4} - 5))}{{(x^{4} + 1)}^{4}}$

解题步骤 2.5.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.5.5.2.1

从 ${(x^{4} + 1)}^{4}$ 中分解出因数 $x^{4} + 1$ 。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{3} (3 x^{4} - 5))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.5.5.2.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{(x^{4} + 1) (4 x^{3} (3 x^{4} - 5))}{(x^{4} + 1) {(x^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.5.5.2.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{4 x^{3} (3 x^{4} - 5)}{{(x^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

$\frac{(1 + x^{4}) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(1 + x^{4}) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.2

将 $1 + x^{4}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [1 + x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.3

根据加法法则， $1 + x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$\frac{1 + x^{4} - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.4

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1 + x^{4} - x (0 + \frac{d}{d x} [x^{4}])}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.5

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [x^{4}]$ 相加。

$\frac{1 + x^{4} - x \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$\frac{1 + x^{4} - x (4 x^{3})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.7

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 + x^{4} - 4 x \cdot x^{3}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 4.1.3

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

移动 $x^{3}$ 。

$\frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x)}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $x^{3}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 4.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1 + x^{4} - 4 (x^{3} x^{1})}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1 + x^{4} - 4 x^{3 + 1}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.3

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$\frac{1 + x^{4} - 4 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 4.1.4

从 $x^{4}$ 中减去 $4 x^{4}$ 。

$\frac{1 - 3 x^{4}}{{(1 + x^{4})}^{2}}$

解题步骤 4.1.5

重新排序项。

$f' (x) = \frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ 。

$\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$- 3 x^{4} + 1 = 0$

解题步骤 5.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.3.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- 3 x^{4} = - 1$

解题步骤 5.3.2

将 $- 3 x^{4} = - 1$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $- 3 x^{4} = - 1$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

解题步骤 5.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去 $- 3$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 3 x^{4}}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}$

解题步骤 5.3.2.2.1.2

用 $x^{4}$ 除以 $1$ 。

$x^{4} = \frac{- 1}{- 3}$

解题步骤 5.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$x^{4} = \frac{1}{3}$

解题步骤 5.3.3

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$

解题步骤 5.3.4

化简 $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ 重写为 $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$

解题步骤 5.3.4.2

$1$ 的任意次方根都是 $1$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

解题步骤 5.3.4.3

将 $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ 。

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

解题步骤 5.3.4.4

合并和化简分母。

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解题步骤 5.3.4.4.1

将 $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ 乘以 $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ 。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

解题步骤 5.3.4.4.2

对 $\sqrt[4]{3}$ 进行 $1$ 次方运算。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

解题步骤 5.3.4.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

解题步骤 5.3.4.4.4

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

解题步骤 5.3.4.4.5

将 ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ 重写为 $3$ 。

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解题步骤 5.3.4.4.5.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{3}$ 重写成 $3^{\frac{1}{4}}$ 。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

解题步骤 5.3.4.4.5.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

解题步骤 5.3.4.4.5.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $4$ 。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

解题步骤 5.3.4.4.5.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.4.4.5.4.1

约去公因数。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

解题步骤 5.3.4.4.5.4.2

重写表达式。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

解题步骤 5.3.4.4.5.5

计算指数。

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

解题步骤 5.3.4.5

化简分子。

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解题步骤 5.3.4.5.1

将 ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ 重写为 $\sqrt[4]{3^{3}}$ 。

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

解题步骤 5.3.4.5.2

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

解题步骤 5.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

解题步骤 5.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

解题步骤 5.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{4 {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{3} (3 {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

对 $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{4 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.2

组合 $4$ 和 $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}}$ 。

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.3

对 $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.4

将 ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ 重写为 $27$ 。

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解题步骤 9.1.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{27}$ 重写成 $27^{\frac{1}{4}}$ 。

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.4.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $4$ 。

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.4.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.4.4.1

约去公因数。

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.4.4.2

重写表达式。

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27^{1}}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.4.5

计算指数。

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27}{3^{4}} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.5

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 (\frac{27}{81}) - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.6.1

从 $81$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27}{3 (27)} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.6.2

约去公因数。

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 \frac{27}{3 \cdot 27} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.6.3

重写表达式。

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (\frac{27}{27} - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.7

用 $27$ 除以 $27$ 。

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (1 - 5)}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.8

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$\frac{\frac{4 {\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.9

化简分子。

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解题步骤 9.1.9.1

将 ${\sqrt[4]{27}}^{3}$ 重写为 $\sqrt[4]{27^{3}}$ 。

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{27^{3}}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.9.2

对 $27$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{19683}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.9.3

将 $19683$ 重写为 $9^{4} \cdot 3$ 。

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解题步骤 9.1.9.3.1

从 $19683$ 中分解出因数 $6561$ 。

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{6561 (3)}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.9.3.2

将 $6561$ 重写为 $9^{4}$ 。

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{9^{4} \cdot 3}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.9.4

从根式下提出各项。

$\frac{\frac{4 \cdot 9 \sqrt[4]{3}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.9.5

将 $4$ 乘以 $9$ 。

$\frac{\frac{36 \sqrt[4]{3}}{3^{3}} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.10

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{\frac{36 \sqrt[4]{3}}{27} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.11

约去 $36$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.11.1

从 $36 \sqrt[4]{3}$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{\frac{9 (4 \sqrt[4]{3})}{27} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.11.2

约去公因数。

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解题步骤 9.1.11.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{\frac{9 (4 \sqrt[4]{3})}{9 (3)} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.11.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{9 (4 \sqrt[4]{3})}{9 \cdot 3} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.11.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

对 $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2

将 ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ 重写为 $27$ 。

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解题步骤 9.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{27}$ 重写成 $27^{\frac{1}{4}}$ 。

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $4$ 。

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.2.4.1

约去公因数。

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2.4.2

重写表达式。

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27^{1}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2.5

计算指数。

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.3

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27}{81} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.4

约去 $27$ 和 $81$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.4.1

从 $27$ 中分解出因数 $27$ 。

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27 (1)}{81} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 9.2.4.2.1

从 $81$ 中分解出因数 $27$ 。

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.4.2.2

约去公因数。

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.4.2.3

重写表达式。

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{1}{3} + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{1}{3} + \frac{3}{3})}^{3}}$

解题步骤 9.2.6

在公分母上合并分子。

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{1 + 3}{3})}^{3}}$

解题步骤 9.2.7

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{(\frac{4}{3})}^{3}}$

解题步骤 9.2.8

对 $\frac{4}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{\frac{4^{3}}{3^{3}}}$

解题步骤 9.2.9

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{\frac{64}{3^{3}}}$

解题步骤 9.2.10

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{\frac{64}{27}}$

解题步骤 9.3

合并分数。

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解题步骤 9.3.1

组合 $\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3}$ 和 $- 4$ 。

$\frac{\frac{4 \sqrt[4]{3} \cdot - 4}{3}}{\frac{64}{27}}$

解题步骤 9.3.2

化简表达式。

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解题步骤 9.3.2.1

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{\frac{- 16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{27}}$

解题步骤 9.3.2.2

将负号移到分数的前面。

$\frac{- \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{27}}$

解题步骤 9.4

将分子乘以分母的倒数。

$- \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{64}$

解题步骤 9.5

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 9.5.1

将 $- \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 16 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{64}$

解题步骤 9.5.2

从 $- 16 \sqrt[4]{3}$ 中分解出因数 $16$ 。

$\frac{16 (- \sqrt[4]{3})}{3} \cdot \frac{27}{64}$

解题步骤 9.5.3

从 $64$ 中分解出因数 $16$ 。

$\frac{16 (- \sqrt[4]{3})}{3} \cdot \frac{27}{16 (4)}$

解题步骤 9.5.4

约去公因数。

$\frac{16 (- \sqrt[4]{3})}{3} \cdot \frac{27}{16 \cdot 4}$

解题步骤 9.5.5

重写表达式。

$\frac{- \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{4}$

解题步骤 9.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.6.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{- \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{3 (9)}{4}$

解题步骤 9.6.2

约去公因数。

$\frac{- \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{3 \cdot 9}{4}$

解题步骤 9.6.3

重写表达式。

$- \sqrt[4]{3} \frac{9}{4}$

解题步骤 9.7

组合 $\frac{9}{4}$ 和 $\sqrt[4]{3}$ 。

$- \frac{9 \sqrt[4]{3}}{4}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\frac{\sqrt[4]{27}}{3}}{1 + {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}}$

解题步骤 11.2.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.2.1

对 $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}}$

解题步骤 11.2.2.2

将 ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ 重写为 $27$ 。

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解题步骤 11.2.2.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{27}$ 重写成 $27^{\frac{1}{4}}$ 。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}}}$

解题步骤 11.2.2.2.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}}}$

解题步骤 11.2.2.2.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $4$ 。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}}}$

解题步骤 11.2.2.2.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.2.2.4.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}}}$

解题步骤 11.2.2.2.4.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{3^{4}}}$

解题步骤 11.2.2.2.5

计算指数。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{3^{4}}}$

解题步骤 11.2.2.3

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{81}}$

解题步骤 11.2.2.4

约去 $27$ 和 $81$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.2.4.1

从 $27$ 中分解出因数 $27$ 。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 (1)}{81}}$

解题步骤 11.2.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 11.2.2.4.2.1

从 $81$ 中分解出因数 $27$ 。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3}}$

解题步骤 11.2.2.4.2.2

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3}}$

解题步骤 11.2.2.4.2.3

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2.2.5

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2.2.6

在公分母上合并分子。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 + 1}{3}}$

解题步骤 11.2.2.7

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{4}{3}}$

解题步骤 11.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot (1 (\frac{3}{4}))$

解题步骤 11.2.4

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{3}{4}$

解题步骤 11.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.5.1

约去公因数。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{3}{4}$

解题步骤 11.2.5.2

重写表达式。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \sqrt[4]{27} (\frac{1}{4})$

解题步骤 11.2.6

组合 $\sqrt[4]{27}$ 和 $\frac{1}{4}$ 。

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{\sqrt[4]{27}}{4}$

解题步骤 11.2.7

最终答案为 $\frac{\sqrt[4]{27}}{4}$ 。

$y = \frac{\sqrt[4]{27}}{4}$

解题步骤 12

计算在 $x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{4 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简分子。

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解题步骤 13.1.1

对 $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{4 {(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.2

对 $- 1$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{4 \cdot - 1 {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.3

对 $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{3}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.4

化简分子。

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解题步骤 13.1.4.1

将 ${\sqrt[4]{27}}^{3}$ 重写为 $\sqrt[4]{27^{3}}$ 。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{27^{3}}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.4.2

对 $27$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{19683}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.4.3

将 $19683$ 重写为 $9^{4} \cdot 3$ 。

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解题步骤 13.1.4.3.1

从 $19683$ 中分解出因数 $6561$ 。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{6561 (3)}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.4.3.2

将 $6561$ 重写为 $9^{4}$ 。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{9^{4} \cdot 3}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.4.4

从根式下提出各项。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{9 \sqrt[4]{3}}{3^{3}} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.5

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{9 \sqrt[4]{3}}{27} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.6

约去 $9$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.6.1

从 $9 \sqrt[4]{3}$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{9 (\sqrt[4]{3})}{27} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.6.2

约去公因数。

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解题步骤 13.1.6.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $9$ 。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{9 \sqrt[4]{3}}{9 \cdot 3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.6.2.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{9 \sqrt[4]{3}}{9 \cdot 3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.6.2.3

重写表达式。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.7

化简每一项。

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解题步骤 13.1.7.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 13.1.7.1.1

对 $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 ({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}) - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.7.1.2

对 $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 ({(- 1)}^{4} \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}) - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.7.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 (1 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}) - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.7.3

将 $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.7.4

将 ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ 重写为 $27$ 。

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解题步骤 13.1.7.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{27}$ 重写成 $27^{\frac{1}{4}}$ 。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.7.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.7.4.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $4$ 。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.7.4.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.7.4.4.1

约去公因数。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.7.4.4.2

重写表达式。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27^{1}}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.7.4.5

计算指数。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27}{3^{4}} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.7.5

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 (\frac{27}{81}) - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.7.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.7.6.1

从 $81$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27}{3 (27)} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.7.6.2

约去公因数。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (3 \frac{27}{3 \cdot 27} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.7.6.3

重写表达式。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (\frac{27}{27} - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.7.7

用 $27$ 除以 $27$ 。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} (1 - 5)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.8

从 $1$ 中减去 $5$ 。

$\frac{4 \cdot - 1 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.9

合并指数。

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解题步骤 13.1.9.1

提取负因数。

$\frac{- (4 \frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.9.2

组合 $4$ 和 $\frac{\sqrt[4]{3}}{3}$ 。

$\frac{- (\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot - 4)}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.9.3

组合 $\frac{4 \sqrt[4]{3}}{3}$ 和 $- 4$ 。

$\frac{- \frac{4 \sqrt[4]{3} \cdot - 4}{3}}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.9.4

将 $- 4$ 乘以 $4$ 。

$\frac{- \frac{- 16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.10

将负号移到分数的前面。

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2

化简分母。

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解题步骤 13.2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 13.2.1.1

对 $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{({(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.1.2

对 $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{({(- 1)}^{4} \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(1 \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.3

将 $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.4

将 ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ 重写为 $27$ 。

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解题步骤 13.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{27}$ 重写成 $27^{\frac{1}{4}}$ 。

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.4.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $4$ 。

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.4.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.4.4.1

约去公因数。

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.4.4.2

重写表达式。

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27^{1}}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.4.5

计算指数。

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27}{3^{4}} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.5

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27}{81} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.6

约去 $27$ 和 $81$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.6.1

从 $27$ 中分解出因数 $27$ 。

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27 (1)}{81} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 13.2.6.2.1

从 $81$ 中分解出因数 $27$ 。

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.6.2.2

约去公因数。

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.6.2.3

重写表达式。

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{1}{3} + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.7

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{1}{3} + \frac{3}{3})}^{3}}$

解题步骤 13.2.8

在公分母上合并分子。

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{1 + 3}{3})}^{3}}$

解题步骤 13.2.9

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{{(\frac{4}{3})}^{3}}$

解题步骤 13.2.10

对 $\frac{4}{3}$ 运用乘积法则。

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{4^{3}}{3^{3}}}$

解题步骤 13.2.11

对 $4$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{3^{3}}}$

解题步骤 13.2.12

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{- - \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{27}}$

解题步骤 13.3

化简分子。

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解题步骤 13.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1 \frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{27}}$

解题步骤 13.3.2

将 $\frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{\frac{16 \sqrt[4]{3}}{3}}{\frac{64}{27}}$

解题步骤 13.4

将分子乘以分母的倒数。

$\frac{16 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{64}$

解题步骤 13.5

约去 $16$ 的公因数。

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解题步骤 13.5.1

从 $16 \sqrt[4]{3}$ 中分解出因数 $16$ 。

$\frac{16 (\sqrt[4]{3})}{3} \cdot \frac{27}{64}$

解题步骤 13.5.2

从 $64$ 中分解出因数 $16$ 。

$\frac{16 (\sqrt[4]{3})}{3} \cdot \frac{27}{16 (4)}$

解题步骤 13.5.3

约去公因数。

$\frac{16 \sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{16 \cdot 4}$

解题步骤 13.5.4

重写表达式。

$\frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{27}{4}$

解题步骤 13.6

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.6.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{3 (9)}{4}$

解题步骤 13.6.2

约去公因数。

$\frac{\sqrt[4]{3}}{3} \cdot \frac{3 \cdot 9}{4}$

解题步骤 13.6.3

重写表达式。

$\sqrt[4]{3} \frac{9}{4}$

解题步骤 13.7

组合 $\sqrt[4]{3}$ 和 $\frac{9}{4}$ 。

$\frac{\sqrt[4]{3} \cdot 9}{4}$

解题步骤 13.8

将 $9$ 移到 $\sqrt[4]{3}$ 的左侧。

$\frac{9 \sqrt[4]{3}}{4}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}}{1 + {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}}$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

将分子乘以分母的倒数。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + {(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}}$

解题步骤 15.2.2

化简分母。

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解题步骤 15.2.2.1

使用幂法则 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ 分解指数。

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解题步骤 15.2.2.1.1

对 $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + {(- 1)}^{4} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{4}}$

解题步骤 15.2.2.1.2

对 $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 运用乘积法则。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + {(- 1)}^{4} (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}})}$

解题步骤 15.2.2.2

对 $- 1$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + 1 (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}})}$

解题步骤 15.2.2.3

将 $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{{\sqrt[4]{27}}^{4}}{3^{4}}}$

解题步骤 15.2.2.4

将 ${\sqrt[4]{27}}^{4}$ 重写为 $27$ 。

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解题步骤 15.2.2.4.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[4]{27}$ 重写成 $27^{\frac{1}{4}}$ 。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{4}}{3^{4}}}$

解题步骤 15.2.2.4.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 4}}{3^{4}}}$

解题步骤 15.2.2.4.3

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $4$ 。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}}}$

解题步骤 15.2.2.4.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.2.4.4.1

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27^{\frac{4}{4}}}{3^{4}}}$

解题步骤 15.2.2.4.4.2

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{3^{4}}}$

解题步骤 15.2.2.4.5

计算指数。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{3^{4}}}$

解题步骤 15.2.2.5

对 $3$ 进行 $4$ 次方运算。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27}{81}}$

解题步骤 15.2.2.6

约去 $27$ 和 $81$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.2.6.1

从 $27$ 中分解出因数 $27$ 。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 (1)}{81}}$

解题步骤 15.2.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 15.2.2.6.2.1

从 $81$ 中分解出因数 $27$ 。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3}}$

解题步骤 15.2.2.6.2.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{27 \cdot 1}{27 \cdot 3}}$

解题步骤 15.2.2.6.2.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{1 + \frac{1}{3}}$

解题步骤 15.2.2.7

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}$

解题步骤 15.2.2.8

在公分母上合并分子。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{3 + 1}{3}}$

解题步骤 15.2.2.9

将 $3$ 和 $1$ 相加。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{1}{\frac{4}{3}}$

解题步骤 15.2.3

将分子乘以分母的倒数。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot (1 (\frac{3}{4}))$

解题步骤 15.2.4

将 $\frac{3}{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{3}{4}$

解题步骤 15.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.5.1

将 $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ 中前置负号移到分子中。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{- \sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{3}{4}$

解题步骤 15.2.5.2

约去公因数。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{- \sqrt[4]{27}}{3} \cdot \frac{3}{4}$

解题步骤 15.2.5.3

重写表达式。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \sqrt[4]{27} \frac{1}{4}$

解题步骤 15.2.6

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\sqrt[4]{27}$ 。

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = - \frac{\sqrt[4]{27}}{4}$

解题步骤 15.2.7

最终答案为 $- \frac{\sqrt[4]{27}}{4}$ 。

$y = - \frac{\sqrt[4]{27}}{4}$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = \frac{x}{1 + x^{4}}$ 的局部极值。

$(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{4})$ 是一个局部最大值

$(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{4})$ 是一个局部最小值

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例