微积分学示例

$f (x) = e^{x} \cos (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 1.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 1.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

解题步骤 1.4

重新排序项。

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- e^{x} \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- e^{x} \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ 。

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

解题步骤 2.2.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - (e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

解题步骤 2.2.3

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

解题步骤 2.2.4

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = e^{x}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

解题步骤 2.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

解题步骤 2.3.3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

运用分配律。

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x)) - (\sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

解题步骤 2.4.2

合并项。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $e^{x}$ 和 $- 1$ 重新排序。

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) - 1 \cdot (e^{x} \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

解题步骤 2.4.2.2

将 $- 1 e^{x}$ 重写为 $- e^{x}$ 。

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) - e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

解题步骤 2.4.2.3

从 $- e^{x} \sin (x)$ 中减去 $e^{x} \sin (x)$ 。

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - 2 e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

解题步骤 2.4.2.4

将 $- e^{x} \cos (x)$ 和 $\cos (x) e^{x}$ 相加。

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解题步骤 2.4.2.4.1

将 $\cos (x)$ 和 $e^{x}$ 重新排序。

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x)$

解题步骤 2.4.2.4.2

将 $- e^{x} \cos (x)$ 和 $e^{x} \cos (x)$ 相加。

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 0$

解题步骤 2.4.2.5

将 $- 2 e^{x} \sin (x)$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x)$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$

解题步骤 4

对 $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ 进行因式分解。

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解题步骤 4.1

从 $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

从 $- e^{x} \sin (x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

解题步骤 4.1.2

从 $e^{x} \cos (x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

解题步骤 4.1.3

从 $e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x)$ 中分解出因数 $e^{x}$ 。

$e^{x} (- 1 \sin (x) + \cos (x)) = 0$

解题步骤 4.2

将 $- 1 \sin (x)$ 重写为 $- \sin (x)$ 。

$e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$

解题步骤 5

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

解题步骤 6

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.1

将 $e^{x}$ 设为等于 $0$ 。

$e^{x} = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 的 $e^{x} = 0$ 。

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解题步骤 6.2.1

取方程两边的自然对数从而去掉指数中的变量。

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

解题步骤 6.2.2

因为 $\ln (0)$ 无意义，所以方程无解。

无定义

解题步骤 6.2.3

$e^{x} = 0$ 无解

无解

解题步骤 7

将 $- \sin (x) + \cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 7.1

将 $- \sin (x) + \cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

解题步骤 7.2

求解 $x$ 的 $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 7.2.1

将方程中的每一项都除以 $\cos (x)$ 。

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2.2

分离分数。

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2.3

将 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ 转换成 $\tan (x)$ 。

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2.4

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2.5

约去 $\cos (x)$ 的公因数。

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解题步骤 7.2.5.1

约去公因数。

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2.5.2

重写表达式。

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2.6

分离分数。

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

解题步骤 7.2.7

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

解题步骤 7.2.8

用 $0$ 除以 $1$ 。

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

解题步骤 7.2.9

将 $0$ 乘以 $\sec (x)$ 。

$- \tan (x) + 1 = 0$

解题步骤 7.2.10

从等式两边同时减去 $1$ 。

$- \tan (x) = - 1$

解题步骤 7.2.11

将 $- \tan (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 1$ 并化简。

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解题步骤 7.2.11.1

将 $- \tan (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 1$ 。

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 7.2.11.2

化简左边。

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解题步骤 7.2.11.2.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 7.2.11.2.2

用 $\tan (x)$ 除以 $1$ 。

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

解题步骤 7.2.11.3

化简右边。

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解题步骤 7.2.11.3.1

用 $- 1$ 除以 $- 1$ 。

$\tan (x) = 1$

解题步骤 7.2.12

取方程两边的逆正切从而提取正切内的 $x$ 。

$x = \arctan (1)$

解题步骤 7.2.13

化简右边。

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解题步骤 7.2.13.1

$\arctan (1)$ 的准确值为 $\frac{π}{4}$ 。

$x = \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.14

正切函数在第一和第三象限为正值。要求第二个解，加上来自 $π$ 的参考角以求第四象限中的解。

$x = π + \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.15

化简 $π + \frac{π}{4}$ 。

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解题步骤 7.2.15.1

要将 $π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{4}{4}$ 。

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.15.2

合并分数。

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解题步骤 7.2.15.2.1

组合 $π$ 和 $\frac{4}{4}$ 。

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

解题步骤 7.2.15.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

解题步骤 7.2.15.3

化简分子。

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解题步骤 7.2.15.3.1

将 $4$ 移到 $π$ 的左侧。

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

解题步骤 7.2.15.3.2

将 $4 π$ 和 $π$ 相加。

$x = \frac{5 π}{4}$

解题步骤 7.2.16

方程 $x = \frac{π}{4}$ 的解。

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

解题步骤 8

最终解为使 $e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

解题步骤 9

计算在 $x = \frac{π}{4}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2 e^{\frac{π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- 2 e^{\frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 10.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 10.2.1

从 $- 2 e^{\frac{π}{4}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- e^{\frac{π}{4}}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 10.2.2

约去公因数。

$2 (- e^{\frac{π}{4}}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

解题步骤 10.2.3

重写表达式。

$- e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{π}{4}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{π}{4}$ 是一个极大值

解题步骤 12

求 $x = \frac{π}{4}$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $\frac{π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 12.2.2

组合 $e^{\frac{π}{4}}$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{π}{4}) = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 12.2.3

最终答案为 $\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ 。

$y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 13

计算在 $x = \frac{5 π}{4}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} \sin (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 14

计算二阶导数。

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解题步骤 14.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第三象限为负。

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

解题步骤 14.2

$\sin (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 14.3

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 14.3.1

将 $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ 中前置负号移到分子中。

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 14.3.2

从 $- 2 e^{\frac{5 π}{4}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$2 (- e^{\frac{5 π}{4}}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 14.3.3

约去公因数。

$2 (- e^{\frac{5 π}{4}}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 14.3.4

重写表达式。

$- e^{\frac{5 π}{4}} (- \sqrt{2})$

解题步骤 14.4

乘。

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解题步骤 14.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}$

解题步骤 14.4.2

将 $e^{\frac{5 π}{4}}$ 乘以 $1$ 。

$e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = \frac{5 π}{4}$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{5 π}{4}$ 是一个极小值

解题步骤 16

求 $x = \frac{5 π}{4}$ 时的 y 值。

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解题步骤 16.1

使用表达式中的 $\frac{5 π}{4}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} \cos (\frac{5 π}{4})$

解题步骤 16.2

化简结果。

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解题步骤 16.2.1

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第三象限为负。

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \cos (\frac{π}{4}))$

解题步骤 16.2.2

$\cos (\frac{π}{4})$ 的准确值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

解题步骤 16.2.3

组合 $e^{\frac{5 π}{4}}$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 。

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 16.2.4

最终答案为 $- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ 。

$y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

解题步骤 17

这些是 $f (x) = e^{x} \cos (x)$ 的局部极值。

$(\frac{π}{4}, \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2})$ 是一个局部最大值

$(\frac{5 π}{4}, - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2})$ 是一个局部最小值

解题步骤 18

微积分学 示例

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