微积分学示例

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $a x^{2} + b x + c$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ 。

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 移到 $a$ 的左侧。

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [b x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $b$ 对于 $x$ 是常数，所以 $b x$ 对 $x$ 的导数是 $b \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

解题步骤 1.3.3

将 $b$ 乘以 $1$ 。

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

解题步骤 1.4

因为 $c$ 对于 $x$ 是常数，所以 $c$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 a x + b + 0$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

将 $2 a x + b$ 和 $0$ 相加。

$2 a x + b$

解题步骤 1.5.2

重新排序项。

$b + 2 a x$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $b + 2 a x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [2 a x]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (b) + \frac{d}{d x} (2 a x)$

解题步骤 2.1.2

因为 $b$ 对于 $x$ 是常数，所以 $b$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (2 a x)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 a x]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2 a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 a x$ 对 $x$ 的导数是 $2 a \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 0 + 2 a \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 0 + 2 a \cdot 1$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 0 + 2 a$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $2 a$ 相加。

$f'' (x) = 2 a$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$b + 2 a x = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $a x^{2} + b x + c$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ 。

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $a$ 对于 $x$ 是常数，所以 $a x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $2$ 移到 $a$ 的左侧。

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [b x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $b$ 对于 $x$ 是常数，所以 $b x$ 对 $x$ 的导数是 $b \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

解题步骤 4.1.3.3

将 $b$ 乘以 $1$ 。

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

解题步骤 4.1.4

因为 $c$ 对于 $x$ 是常数，所以 $c$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$2 a x + b + 0$

解题步骤 4.1.5

化简。

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解题步骤 4.1.5.1

将 $2 a x + b$ 和 $0$ 相加。

$2 a x + b$

解题步骤 4.1.5.2

重新排序项。

$f' (x) = b + 2 a x$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $b + 2 a x$ 。

$b + 2 a x$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $b + 2 a x = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$b + 2 a x = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $b$ 。

$2 a x = - b$

解题步骤 5.3

将 $2 a x = - b$ 中的每一项除以 $2 a$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $2 a x = - b$ 中的每一项都除以 $2 a$ 。

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

解题步骤 5.3.2.1.2

重写表达式。

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

解题步骤 5.3.2.2

约去 $a$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去公因数。

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

解题步骤 5.3.2.2.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{- b}{2 a}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

将负号移到分数的前面。

$x = - \frac{b}{2 a}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = - \frac{b}{2 a}$

解题步骤 8

计算在 $x = - \frac{b}{2 a}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2 a$

解题步骤 9

由于一阶导数判别法失败，因此不存在局部极值。

不存在局部极值

解题步骤 10

微积分学 示例

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