微积分学示例

$f (x) = 5 x^{\frac{4}{3}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x^{2} - 3 x + 1$

解题步骤 1

根据加法法则， $5 x^{\frac{4}{3}} - \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + x^{2} - 3 x + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{4}{3}}]$ 。

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解题步骤 2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{\frac{4}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{4}{3}}] + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{4}{3}$ 。

$5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.5

在公分母上合并分子。

$5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 1 \cdot 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.6

化简分子。

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解题步骤 2.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$5 (\frac{4}{3} x^{\frac{4 - 3}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.6.2

从 $4$ 中减去 $3$ 。

$5 (\frac{4}{3} x^{\frac{1}{3}}) + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.7

组合 $\frac{4}{3}$ 和 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$5 \frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.8

组合 $5$ 和 $\frac{4 x^{\frac{1}{3}}}{3}$ 。

$\frac{5 (4 x^{\frac{1}{3}})}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 2.9

将 $4$ 乘以 $5$ 。

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} + \frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]$ 。

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解题步骤 3.1

因为 $- \frac{2}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ 。

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.5

在公分母上合并分子。

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.6

化简分子。

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解题步骤 3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.6.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.7

组合 $\frac{3}{2}$ 和 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.8

将 $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ 乘以 $\frac{2}{3}$ 。

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{3 x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.9

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.10

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.11

约去公因数。

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - \frac{6 x^{\frac{1}{2}}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 3.12

用 $x^{\frac{1}{2}}$ 除以 $1$ 。

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 3 x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5

计算 $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ 。

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解题步骤 5.1

因为 $- 3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 3 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 5.3

将 $- 3$ 乘以 $1$ 。

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3 + \frac{d}{d x} [1]$

解题步骤 6

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3 + 0$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3$ 和 $0$ 相加。

$\frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - x^{\frac{1}{2}} + 2 x - 3$

解题步骤 7.2

重新排序项。

$2 x - x^{\frac{1}{2}} + \frac{20 x^{\frac{1}{3}}}{3} - 3$

微积分学 示例

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