微积分学示例

$f (x) = 6 \cot (x^{3} - 2 x^{2})$

解题步骤 1

因为 $6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $6 \cot (x^{3} - 2 x^{2})$ 对 $x$ 的导数是 $6 \frac{d}{d x} [\cot (x^{3} - 2 x^{2})]$ 。

$6 \frac{d}{d x} [\cot (x^{3} - 2 x^{2})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cot (x)$ 且 $g (x) = x^{3} - 2 x^{2}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3} - 2 x^{2}$ 。

$6 (\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2}])$

解题步骤 2.2

$\cot (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \csc^{2} (u)$ 。

$6 (- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2}])$

解题步骤 2.3

使用 $x^{3} - 2 x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$6 (- \csc^{2} (x^{3} - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2}])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$- 6 (\csc^{2} (x^{3} - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2}])$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $x^{3} - 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 。

$- 6 \csc^{2} (x^{3} - 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

解题步骤 3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 6 \csc^{2} (x^{3} - 2 x^{2}) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

解题步骤 3.4

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$- 6 \csc^{2} (x^{3} - 2 x^{2}) (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 6 \csc^{2} (x^{3} - 2 x^{2}) (3 x^{2} - 2 (2 x))$

解题步骤 3.6

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$- 6 \csc^{2} (x^{3} - 2 x^{2}) (3 x^{2} - 4 x)$

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