微积分学示例

$f (x) = 4 \csc (2 x^{3} - 1)$

解题步骤 1

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4 \csc (2 x^{3} - 1)$ 对 $x$ 的导数是 $4 \frac{d}{d x} [\csc (2 x^{3} - 1)]$ 。

$4 \frac{d}{d x} [\csc (2 x^{3} - 1)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \csc (x)$ 且 $g (x) = 2 x^{3} - 1$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x^{3} - 1$ 。

$4 (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1])$

解题步骤 2.2

$\csc (u)$ 对 $u$ 的导数为 $- \csc (u) \cot (u)$ 。

$4 (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1])$

解题步骤 2.3

使用 $2 x^{3} - 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$4 (- \csc (2 x^{3} - 1) \cot (2 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1])$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$- 4 (\csc (2 x^{3} - 1) \cot (2 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1])$

解题步骤 3.2

根据加法法则， $2 x^{3} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$- 4 \csc (2 x^{3} - 1) \cot (2 x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$- 4 \csc (2 x^{3} - 1) \cot (2 x^{3} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 4 \csc (2 x^{3} - 1) \cot (2 x^{3} - 1) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$- 4 \csc (2 x^{3} - 1) \cot (2 x^{3} - 1) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])$

解题步骤 3.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 \csc (2 x^{3} - 1) \cot (2 x^{3} - 1) (6 x^{2} + 0)$

解题步骤 3.7

化简表达式。

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解题步骤 3.7.1

将 $6 x^{2}$ 和 $0$ 相加。

$- 4 \csc (2 x^{3} - 1) \cot (2 x^{3} - 1) (6 x^{2})$

解题步骤 3.7.2

将 $6$ 乘以 $- 4$ 。

$- 24 \csc (2 x^{3} - 1) \cot (2 x^{3} - 1) x^{2}$

解题步骤 3.7.3

重新排序 $- 24 \csc (2 x^{3} - 1) \cot (2 x^{3} - 1) x^{2}$ 的因式。

$- 24 x^{2} \cot (2 x^{3} - 1) \csc (2 x^{3} - 1)$

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