微积分学示例

$f (x) = - 4 x {(x + 2)}^{3}$

解题步骤 1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x {(x + 2)}^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x {(x + 2)}^{3}]$ 。

$- 4 \frac{d}{d x} [x {(x + 2)}^{3}]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x + 2)}^{3}$ 。

$- 4 (x \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}] + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x + 2$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x + 2$ 。

$- 4 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$- 4 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 3.3

使用 $x + 2$ 替换所有出现的 $u$ 。

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.3

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4

化简表达式。

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解题步骤 4.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} \cdot 1) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.4.2

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 4.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3} \cdot 1)$

解题步骤 4.6

将 ${(x + 2)}^{3}$ 乘以 $1$ 。

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3})$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2})) - 4 {(x + 2)}^{3}$

解题步骤 5.2

将 $3$ 乘以 $- 4$ 。

$- 12 (x ({(x + 2)}^{2})) - 4 {(x + 2)}^{3}$

解题步骤 5.3

从 $- 12 x {(x + 2)}^{2} - 4 {(x + 2)}^{3}$ 中分解出因数 $4 {(x + 2)}^{2}$ 。

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解题步骤 5.3.1

从 $- 12 x {(x + 2)}^{2}$ 中分解出因数 $4 {(x + 2)}^{2}$ 。

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) - 4 {(x + 2)}^{3}$

解题步骤 5.3.2

从 $- 4 {(x + 2)}^{3}$ 中分解出因数 $4 {(x + 2)}^{2}$ 。

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) + 4 {(x + 2)}^{2} (- (x + 2))$

解题步骤 5.3.3

从 $4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) + 4 {(x + 2)}^{2} (- (x + 2))$ 中分解出因数 $4 {(x + 2)}^{2}$ 。

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x - (x + 2))$

解题步骤 5.4

将 ${(x + 2)}^{2}$ 重写为 $(x + 2) (x + 2)$ 。

$4 ((x + 2) (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

解题步骤 5.5

使用 FOIL 方法展开 $(x + 2) (x + 2)$ 。

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解题步骤 5.5.1

运用分配律。

$4 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

解题步骤 5.5.2

运用分配律。

$4 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

解题步骤 5.5.3

运用分配律。

$4 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

解题步骤 5.6

化简并合并同类项。

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解题步骤 5.6.1

化简每一项。

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解题步骤 5.6.1.1

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$4 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

解题步骤 5.6.1.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$4 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

解题步骤 5.6.1.3

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$4 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (- 3 x - (x + 2))$

解题步骤 5.6.2

将 $2 x$ 和 $2 x$ 相加。

$4 (x^{2} + 4 x + 4) (- 3 x - (x + 2))$

解题步骤 5.7

运用分配律。

$(4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) (- 3 x - (x + 2))$

解题步骤 5.8

化简。

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解题步骤 5.8.1

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$(4 x^{2} + 16 x + 4 \cdot 4) (- 3 x - (x + 2))$

解题步骤 5.8.2

将 $4$ 乘以 $4$ 。

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - (x + 2))$

解题步骤 5.9

化简每一项。

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解题步骤 5.9.1

运用分配律。

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - x - 1 \cdot 2)$

解题步骤 5.9.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - x - 2)$

解题步骤 5.10

从 $- 3 x$ 中减去 $x$ 。

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 4 x - 2)$

解题步骤 5.11

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 4 x - 2)$ 。

$4 x^{2} (- 4 x) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

解题步骤 5.12

化简每一项。

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解题步骤 5.12.1

使用乘法的交换性质重写。

$4 \cdot - 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

解题步骤 5.12.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.12.2.1

移动 $x$ 。

$4 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

解题步骤 5.12.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 5.12.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$4 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

解题步骤 5.12.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$4 \cdot - 4 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

解题步骤 5.12.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$4 \cdot - 4 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

解题步骤 5.12.3

将 $4$ 乘以 $- 4$ 。

$- 16 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

解题步骤 5.12.4

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

解题步骤 5.12.5

使用乘法的交换性质重写。

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 x \cdot x + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

解题步骤 5.12.6

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 5.12.6.1

移动 $x$ 。

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 (x \cdot x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

解题步骤 5.12.6.2

将 $x$ 乘以 $x$ 。

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 x^{2} + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

解题步骤 5.12.7

将 $16$ 乘以 $- 4$ 。

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

解题步骤 5.12.8

将 $- 2$ 乘以 $16$ 。

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

解题步骤 5.12.9

将 $- 4$ 乘以 $16$ 。

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x - 64 x + 16 \cdot - 2$

解题步骤 5.12.10

将 $16$ 乘以 $- 2$ 。

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x - 64 x - 32$

解题步骤 5.13

从 $- 8 x^{2}$ 中减去 $64 x^{2}$ 。

$- 16 x^{3} - 72 x^{2} - 32 x - 64 x - 32$

解题步骤 5.14

从 $- 32 x$ 中减去 $64 x$ 。

$- 16 x^{3} - 72 x^{2} - 96 x - 32$

微积分学 示例

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