微积分学示例

$h (t) = \sqrt{t} (1 - t^{2})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{t}$ 重写成 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}} (1 - t^{2})]$

解题步骤 2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ 等于 $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ ，其中 $f (t) = t^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (t) = 1 - t^{2}$ 。

$t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [1 - t^{2}] + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

求微分。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $1 - t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]$ 。

$t^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.2

因为 $1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $1$ 对 $t$ 的导数为 $0$ 。

$t^{\frac{1}{2}} (0 + \frac{d}{d t} [- t^{2}]) + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.3

将 $0$ 和 $\frac{d}{d t} [- t^{2}]$ 相加。

$t^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [- t^{2}] + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.4

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t^{2}$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t^{2}]$ 。

$t^{\frac{1}{2}} (- \frac{d}{d t} [t^{2}]) + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$t^{\frac{1}{2}} (- (2 t)) + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3.6

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$t^{\frac{1}{2}} (- 2 t) + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4

通过指数相加将 $t^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $t$ 。

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解题步骤 4.1

移动 $t$ 。

$t \cdot t^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2

将 $t$ 乘以 $t^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 4.2.1

对 $t$ 进行 $1$ 次方运算。

$t^{1} t^{\frac{1}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$t^{1 + \frac{1}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.3

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$t^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.4

在公分母上合并分子。

$t^{\frac{2 + 1}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 4.5

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$t^{\frac{3}{2}} \cdot - 2 + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 5

将 $- 2$ 移到 $t^{\frac{3}{2}}$ 的左侧。

$- 2 \cdot t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1})$

解题步骤 7

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

解题步骤 8

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 9

在公分母上合并分子。

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

解题步骤 10

化简分子。

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解题步骤 10.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}})$

解题步骤 10.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}})$

解题步骤 11

将负号移到分数的前面。

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}})$

解题步骤 12

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 13

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $t^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + (1 - t^{2}) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14

化简。

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解题步骤 14.1

运用分配律。

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + 1 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2

合并项。

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解题步骤 14.2.1

将 $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $1$ 。

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - t^{2} \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.2

组合 $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ 和 $t^{2}$ 。

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{2}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.3

使用负指数规则 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ 将 $t^{\frac{1}{2}}$ 移动到分子。

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{2} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 14.2.4

通过指数相加将 $t^{2}$ 乘以 $t^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 14.2.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{2 - \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 14.2.4.2

要将 $2$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 14.2.4.3

组合 $2$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

解题步骤 14.2.4.4

在公分母上合并分子。

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}}{2}$

解题步骤 14.2.4.5

化简分子。

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解题步骤 14.2.4.5.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{\frac{4 - 1}{2}}}{2}$

解题步骤 14.2.4.5.2

从 $4$ 中减去 $1$ 。

$- 2 t^{\frac{3}{2}} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{t^{\frac{3}{2}}}{2}$

解题步骤 14.2.5

要将 $- 2 t^{\frac{3}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- 2 t^{\frac{3}{2}} \cdot \frac{2}{2} - \frac{t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.6

组合 $- 2 t^{\frac{3}{2}}$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\frac{- 2 t^{\frac{3}{2}} \cdot 2}{2} - \frac{t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.7

在公分母上合并分子。

$\frac{- 2 t^{\frac{3}{2}} \cdot 2 - t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.8

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$\frac{- 4 t^{\frac{3}{2}} - t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.9

从 $- 4 t^{\frac{3}{2}}$ 中减去 $t^{\frac{3}{2}}$ 。

$\frac{- 5 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.2.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2} + \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 14.3

重新排序项。

$\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{5 t^{\frac{3}{2}}}{2}$

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