微积分学示例

$g (y) = \frac{y - 1}{y^{2} - y + 1}$

解题步骤 1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = y - 1$ 且 $g (y) = y^{2} - y + 1$ 。

$\frac{(y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $y - 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 。

$\frac{(y^{2} - y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.3

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + 0) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.4

化简表达式。

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解题步骤 2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(y^{2} - y + 1) \cdot 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.4.2

将 $y^{2} - y + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.5

根据加法法则， $y^{2} - y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.7

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.10

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + 0)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 2.11

将 $2 y - 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

运用分配律。

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y - - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2

化简分子。

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解题步骤 3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y + 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- y + 1) (2 y - 1)$ 。

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解题步骤 3.2.1.2.1

运用分配律。

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.2

运用分配律。

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.2.3

运用分配律。

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.2.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.1.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 3.2.1.3.1.2.1

移动 $y$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.1.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.1.4

乘以 $- y \cdot - 1$ 。

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解题步骤 3.2.1.3.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 1 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.1.4.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.1.5

将 $2 y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.1.3.2

将 $y$ 和 $2 y$ 相加。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2

合并 $y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 3.2.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y + 0}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.2.2

将 $y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.3

从 $y^{2}$ 中减去 $2 y^{2}$ 。

$\frac{- y^{2} - y + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.2.4

将 $- y$ 和 $3 y$ 相加。

$\frac{- y^{2} + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3

从 $- y^{2} + 2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 3.3.1

从 $- y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (- y) + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.2

从 $2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (- y) + y \cdot 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.3.3

从 $y (- y) + y \cdot 2$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (- y + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.4

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{y (- (y) + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.5

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{y (- (y) - 1 (- 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.6

从 $- (y) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{y (- (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.7

将 $- (y - 2)$ 重写为 $- 1 (y - 2)$ 。

$\frac{y (- 1 (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 3.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

微积分学 示例

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