微积分学示例

$f (x) = x \sin (x) + \cos (x)$

解题步骤 1

根据加法法则， $x \sin (x) + \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2

计算 $\frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = \sin (x)$ 。

$x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 2.4

将 $\sin (x)$ 乘以 $1$ 。

$x \cos (x) + \sin (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

解题步骤 3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$x \cos (x) + \sin (x) - \sin (x)$

解题步骤 4

合并项。

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解题步骤 4.1

从 $\sin (x)$ 中减去 $\sin (x)$ 。

$x \cos (x) + 0$

解题步骤 4.2

将 $x \cos (x)$ 和 $0$ 相加。

$x \cos (x)$

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