微积分学示例

$f (x) = \ln (x^{3} - x^{2})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{3} - x^{2}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{3} - x^{2}$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]$

解题步骤 1.3

使用 $x^{3} - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{x^{3} - x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2}]$

解题步骤 2

求微分。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $x^{3} - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$\frac{1}{x^{3} - x^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{x^{3} - x^{2}} (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

解题步骤 2.3

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$\frac{1}{x^{3} - x^{2}} (3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

解题步骤 2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{1}{x^{3} - x^{2}} (3 x^{2} - (2 x))$

解题步骤 2.5

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{1}{x^{3} - x^{2}} (3 x^{2} - 2 x)$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

重新排序 $\frac{1}{x^{3} - x^{2}} (3 x^{2} - 2 x)$ 的因式。

$(3 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{3} - x^{2}}$

解题步骤 3.2

从 $x^{3} - x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.2.1

从 $x^{3}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$(3 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} x - x^{2}}$

解题步骤 3.2.2

从 $- x^{2}$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$(3 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} x + x^{2} \cdot - 1}$

解题步骤 3.2.3

从 $x^{2} x + x^{2} \cdot - 1$ 中分解出因数 $x^{2}$ 。

$(3 x^{2} - 2 x) \frac{1}{x^{2} (x - 1)}$

解题步骤 3.3

将 $3 x^{2} - 2 x$ 乘以 $\frac{1}{x^{2} (x - 1)}$ 。

$\frac{3 x^{2} - 2 x}{x^{2} (x - 1)}$

解题步骤 3.4

从 $3 x^{2} - 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

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解题步骤 3.4.1

从 $3 x^{2}$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x) - 2 x}{x^{2} (x - 1)}$

解题步骤 3.4.2

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x) + x \cdot - 2}{x^{2} (x - 1)}$

解题步骤 3.4.3

从 $x (3 x) + x \cdot - 2$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x - 2)}{x^{2} (x - 1)}$

解题步骤 3.5

约去公因数。

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解题步骤 3.5.1

从 $x^{2} (x - 1)$ 中分解出因数 $x$ 。

$\frac{x (3 x - 2)}{x (x (x - 1))}$

解题步骤 3.5.2

约去公因数。

$\frac{x (3 x - 2)}{x (x (x - 1))}$

解题步骤 3.5.3

重写表达式。

$\frac{3 x - 2}{x (x - 1)}$

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