微积分学示例

$f (x) = \ln (e^{x} + 1)$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = e^{x} + 1$ 。

点击获取更多步骤...

解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $e^{x} + 1$ 。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

解题步骤 1.2

$\ln (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{u}$ 。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

解题步骤 1.3

使用 $e^{x} + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{e^{x} + 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

解题步骤 2

根据加法法则， $e^{x} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{1}{e^{x} + 1} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{e^{x} + 1} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 4

使用常数法则求导。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{1}{e^{x} + 1} (e^{x} + 0)$

解题步骤 4.2

合并分数。

点击获取更多步骤...

解题步骤 4.2.1

将 $e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{1}{e^{x} + 1} e^{x}$

解题步骤 4.2.2

组合 $\frac{1}{e^{x} + 1}$ 和 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$

微积分学 示例