微积分学示例

$f (x) = \arctan (e^{x})$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \arctan (x)$ 且 $g (x) = e^{x}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $e^{x}$ 。

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 1.2

$\arctan (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\frac{1}{1 + u^{2}}$ 。

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 1.3

使用 $e^{x}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{1 + {(e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2

将 ${(e^{x})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{1 + e^{x \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 2.2

将 $2$ 移到 $x$ 的左侧。

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

解题步骤 3

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} e^{x}$

解题步骤 4

组合 $\frac{1}{1 + e^{2 x}}$ 和 $e^{x}$ 。

$\frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}$

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