微积分学示例

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{e^{x} + 1}$ 重写成 ${(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d x} [\sin ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 ${(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.2

$\sin (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $\cos (u_{1})$ 。

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 2.3

使用 ${(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [{(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = e^{x} + 1$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $e^{x} + 1$ 。

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

解题步骤 3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ 等于 $n {u_{2}}^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

解题步骤 3.3

使用 $e^{x} + 1$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

解题步骤 4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

解题步骤 5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

解题步骤 6

在公分母上合并分子。

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(e^{x} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

解题步骤 7

化简分子。

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解题步骤 7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(e^{x} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

解题步骤 7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(e^{x} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

解题步骤 8

使用求加法法则求导。

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解题步骤 8.1

将负号移到分数的前面。

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(e^{x} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

解题步骤 8.2

合并分数。

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解题步骤 8.2.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(e^{x} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(e^{x} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

解题步骤 8.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(e^{x} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

解题步骤 8.2.3

组合 $\frac{1}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ 。

$\frac{\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

解题步骤 8.3

根据加法法则， $e^{x} + 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ 。

$\frac{\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 9

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ 等于 $a^{x} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$\frac{\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])$

解题步骤 10

使用常数法则求导。

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解题步骤 10.1

因为 $1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + 0)$

解题步骤 10.2

合并分数。

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解题步骤 10.2.1

将 $e^{x}$ 和 $0$ 相加。

$\frac{\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}} e^{x}$

解题步骤 10.2.2

组合 $\frac{\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $e^{x}$ 。

$\frac{\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) e^{x}}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 10.2.3

将 $\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) e^{x}$ 中的因式重新排序。

$\frac{e^{x} \cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

微积分学 示例

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