微积分学示例

$f (x) = \sin (2 x) \cos (2 x)$

解题步骤 1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = \sin (2 x)$ 且 $g (x) = \cos (2 x)$ 。

$\sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \cos (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 2.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $2 x$ 。

$\sin (2 x) (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 2.2

$\cos (u_{1})$ 对 $u_{1}$ 的导数为 $- \sin (u_{1})$ 。

$\sin (2 x) (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 2.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$\sin (2 x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 3

对 $\sin (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\sin^{1} (2 x) \sin (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 4

对 $\sin (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x)) \frac{d}{d x} [2 x] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 5

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 6

求微分。

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解题步骤 6.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 6.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- \sin^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 6.3

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 6.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \sin^{2} (2 x) \cdot 1 + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 6.5

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

解题步骤 7

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 7.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $2 x$ 。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos (2 x) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 7.2

$\sin (u_{2})$ 对 $u_{2}$ 的导数为 $\cos (u_{2})$ 。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos (2 x) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 7.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos (2 x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])$

解题步骤 8

对 $\cos (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 9

对 $\cos (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + {\cos (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 12

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

解题步骤 13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) (2 \cdot 1)$

解题步骤 14

化简表达式。

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解题步骤 14.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + \cos^{2} (2 x) \cdot 2$

解题步骤 14.2

将 $2$ 移到 $\cos^{2} (2 x)$ 的左侧。

$- 2 \sin^{2} (2 x) + 2 \cos^{2} (2 x)$

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