微积分学示例

$g (x) = - \frac{24 x}{x^{2} + 16}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

因为 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{24 x}{x^{2} + 16}$ 对 $x$ 的导数是 $- 24 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$ 。

$- 24 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$

解题步骤 1.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} + 16$ 。

$- 24 \frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$- 24 \frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

将 $x^{2} + 16$ 乘以 $1$ 。

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

根据加法法则， $x^{2} + 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ 。

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 1.8

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$- 24 \frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 1.9

组合 $- 24$ 和 $\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ 。

$\frac{- 24 (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 1.10

将负号移到分数的前面。

$- \frac{(24) (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 1.11

化简。

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解题步骤 1.11.1

运用分配律。

$- \frac{24 (- x^{2}) + 24 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 1.11.2

化简每一项。

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解题步骤 1.11.2.1

将 $- 1$ 乘以 $24$ 。

$- \frac{- 24 x^{2} + 24 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 1.11.2.2

将 $24$ 乘以 $16$ 。

$- \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ 。

$g'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = - 24 x^{2} + 384$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 16)}^{2}$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 24 x^{2} + 384) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{({(x^{2} + 16)}^{2})}^{2}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3

求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 ${({(x^{2} + 16)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 24 x^{2} + 384) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2 \cdot 2}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 24 x^{2} + 384) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.2

根据加法法则， $- 24 x^{2} + 384$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [384]$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (384)) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.3

因为 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 24 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (384)) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (384)) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.5

将 $2$ 乘以 $- 24$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x + \frac{d}{d x} (384)) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.6

因为 $384$ 对于 $x$ 是常数，所以 $384$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x + 0) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.7

将 $- 48 x$ 和 $0$ 相加。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + 16$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 16$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - (- 24 x^{2} + 384) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - (- 24 x^{2} + 384) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.4.3

使用 $x^{2} + 16$ 替换所有出现的 $u$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - (- 24 x^{2} + 384) (2 (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} (x^{2} + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 2 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) \frac{d}{d x} (x^{2} + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.5.2

根据加法法则， $x^{2} + 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 2 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 2 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) (2 x + \frac{d}{d x} (16)))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.5.4

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 2 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.5.5

化简表达式。

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解题步骤 2.5.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 2 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) (2 x))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.5.5.2

将 $2$ 移到 $x^{2} + 16$ 的左侧。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 2 (- 24 x^{2} + 384) (2 \cdot ((x^{2} + 16) x))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.5.5.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 4 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.5.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 4 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.5.7

化简表达式。

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解题步骤 2.5.7.1

将 $\frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 4 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + 0$

解题步骤 2.5.7.2

将 $- \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 4 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$ 和 $0$ 相加。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 4 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6

化简。

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解题步骤 2.6.1

运用分配律。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.2

运用分配律。

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3

化简分子。

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解题步骤 2.6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$g'' (x) = - \frac{- 48 {(x^{2} + 16)}^{2} x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.2

将 ${(x^{2} + 16)}^{2}$ 重写为 $(x^{2} + 16) (x^{2} + 16)$ 。

$g'' (x) = - \frac{- 48 ((x^{2} + 16) (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.3

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 16) (x^{2} + 16)$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.3.1

运用分配律。

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{2} (x^{2} + 16) + 16 (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.3.2

运用分配律。

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 16 (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.3.3

运用分配律。

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.4

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.6.3.1.4.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.3.1.4.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.4.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.4.1.1.2

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{4} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.4.1.2

将 $16$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{4} + 16 \cdot x^{2} + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.4.1.3

将 $16$ 乘以 $16$ 。

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{4} + 16 x^{2} + 16 x^{2} + 256) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.4.2

将 $16 x^{2}$ 和 $16 x^{2}$ 相加。

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{4} + 32 x^{2} + 256) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.5

运用分配律。

$g'' (x) = - \frac{(- 48 x^{4} - 48 (32 x^{2}) - 48 \cdot 256) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.6

化简。

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解题步骤 2.6.3.1.6.1

将 $32$ 乘以 $- 48$ 。

$g'' (x) = - \frac{(- 48 x^{4} - 1536 x^{2} - 48 \cdot 256) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.6.2

将 $- 48$ 乘以 $256$ 。

$g'' (x) = - \frac{(- 48 x^{4} - 1536 x^{2} - 12288) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.7

运用分配律。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{4} x - 1536 x^{2} x - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.8

化简。

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解题步骤 2.6.3.1.8.1

通过指数相加将 $x^{4}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.8.1.1

移动 $x$ 。

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x \cdot x^{4}) - 1536 x^{2} x - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.8.1.2

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.8.1.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x \cdot x^{4}) - 1536 x^{2} x - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.8.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{1 + 4} - 1536 x^{2} x - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.8.1.3

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{2} x - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.8.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.8.2.1

移动 $x$ 。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 (x \cdot x^{2}) - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.8.2.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.8.2.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 (x \cdot x^{2}) - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.8.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{1 + 2} - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.8.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.9

化简每一项。

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解题步骤 2.6.3.1.9.1

将 $- 24$ 乘以 $- 4$ 。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + (96 x^{2} - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.9.2

将 $- 4$ 乘以 $384$ 。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + (96 x^{2} - 1536) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.10

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.10.1

将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.10.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + (96 x^{2} - 1536) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.10.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + (96 x^{2} - 1536) (x^{2 + 1} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.10.2

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + (96 x^{2} - 1536) (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.11

使用 FOIL 方法展开 $(96 x^{2} - 1536) (x^{3} + 16 x)$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.11.1

运用分配律。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{2} (x^{3} + 16 x) - 1536 (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.11.2

运用分配律。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{2} x^{3} + 96 x^{2} (16 x) - 1536 (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.11.3

运用分配律。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{2} x^{3} + 96 x^{2} (16 x) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.12

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.6.3.1.12.1

化简每一项。

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解题步骤 2.6.3.1.12.1.1

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{3}$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.12.1.1.1

移动 $x^{3}$ 。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 (x^{3} x^{2}) + 96 x^{2} (16 x) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.12.1.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{3 + 2} + 96 x^{2} (16 x) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.12.1.1.3

将 $3$ 和 $2$ 相加。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 96 x^{2} (16 x) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.12.1.2

使用乘法的交换性质重写。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 96 \cdot (16 x^{2} x) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.12.1.3

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.12.1.3.1

移动 $x$ 。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 96 \cdot (16 (x \cdot x^{2})) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.12.1.3.2

将 $x$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 2.6.3.1.12.1.3.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 96 \cdot (16 (x \cdot x^{2})) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.12.1.3.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 96 \cdot (16 x^{1 + 2}) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.12.1.3.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 96 \cdot (16 x^{3}) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.12.1.4

将 $96$ 乘以 $16$ 。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 1536 x^{3} - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.12.1.5

将 $16$ 乘以 $- 1536$ 。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 1536 x^{3} - 1536 x^{3} - 24576 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.12.2

从 $1536 x^{3}$ 中减去 $1536 x^{3}$ 。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 0 - 24576 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.1.12.3

将 $96 x^{5}$ 和 $0$ 相加。

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} - 24576 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.2

将 $- 48 x^{5}$ 和 $96 x^{5}$ 相加。

$g'' (x) = - \frac{48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x - 24576 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.3.3

从 $- 12288 x$ 中减去 $24576 x$ 。

$g'' (x) = - \frac{48 x^{5} - 1536 x^{3} - 36864 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.4

化简分子。

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解题步骤 2.6.4.1

从 $48 x^{5} - 1536 x^{3} - 36864 x$ 中分解出因数 $48 x$ 。

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解题步骤 2.6.4.1.1

从 $48 x^{5}$ 中分解出因数 $48 x$ 。

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{4}) - 1536 x^{3} - 36864 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.4.1.2

从 $- 1536 x^{3}$ 中分解出因数 $48 x$ 。

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{4}) + 48 x (- 32 x^{2}) - 36864 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.4.1.3

从 $- 36864 x$ 中分解出因数 $48 x$ 。

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{4}) + 48 x (- 32 x^{2}) + 48 x (- 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.4.1.4

从 $48 x (x^{4}) + 48 x (- 32 x^{2})$ 中分解出因数 $48 x$ 。

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{4} - 32 x^{2}) + 48 x (- 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.4.1.5

从 $48 x (x^{4} - 32 x^{2}) + 48 x (- 768)$ 中分解出因数 $48 x$ 。

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{4} - 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.4.2

将 $x^{4}$ 重写为 ${(x^{2})}^{2}$ 。

$g'' (x) = - \frac{48 x ({(x^{2})}^{2} - 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.4.3

使 $u = x^{2}$ 。用 $u$ 代入替换所有出现的 $x^{2}$ 。

$g'' (x) = - \frac{48 x (u^{2} - 32 u - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.4.4

使用 AC 法来对 $u^{2} - 32 u - 768$ 进行因式分解。

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解题步骤 2.6.4.4.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $- 768$ ，和为 $- 32$ 。

$- 48, 16$

解题步骤 2.6.4.4.2

使用这些整数书写分数形式。

$g'' (x) = - \frac{48 x ((u - 48) (u + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.4.5

使用 $x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{2} - 48) (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.5

约去 $x^{2} + 16$ 和 ${(x^{2} + 16)}^{4}$ 的公因数。

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解题步骤 2.6.5.1

从 $48 x (x^{2} - 48) (x^{2} + 16)$ 中分解出因数 $x^{2} + 16$ 。

$g'' (x) = - \frac{(x^{2} + 16) (48 x (x^{2} - 48))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

解题步骤 2.6.5.2

约去公因数。

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解题步骤 2.6.5.2.1

从 ${(x^{2} + 16)}^{4}$ 中分解出因数 $x^{2} + 16$ 。

$g'' (x) = - \frac{(x^{2} + 16) (48 x (x^{2} - 48))}{(x^{2} + 16) {(x^{2} + 16)}^{3}}$

解题步骤 2.6.5.2.2

约去公因数。

$g'' (x) = - \frac{(x^{2} + 16) (48 x (x^{2} - 48))}{(x^{2} + 16) {(x^{2} + 16)}^{3}}$

解题步骤 2.6.5.2.3

重写表达式。

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

因为 $- 24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{24 x}{x^{2} + 16}$ 对 $x$ 的导数是 $- 24 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$ 。

$f' (x) = - 24 \frac{d}{d x} \frac{x}{x^{2} + 16}$

解题步骤 4.1.2

$f' (x) = - 24 \frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3

求微分。

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解题步骤 4.1.3.1

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = - 24 \frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2

将 $x^{2} + 16$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.3

根据加法法则， $x^{2} + 16$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ 。

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5

因为 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $16$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.6

化简表达式。

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解题步骤 4.1.3.6.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.6.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.4

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.5

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.6

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.7

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.8

从 $x^{2}$ 中减去 $2 x^{2}$ 。

$f' (x) = - 24 \frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.9

组合 $- 24$ 和 $\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{- 24 (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.10

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{(24) (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.11

化简。

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解题步骤 4.1.11.1

运用分配律。

$f' (x) = - \frac{24 (- x^{2}) + 24 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.11.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.11.2.1

将 $- 1$ 乘以 $24$ 。

$f' (x) = - \frac{- 24 x^{2} + 24 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.1.11.2.2

将 $24$ 乘以 $16$ 。

$f' (x) = - \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 4.2

$g (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ 。

$- \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$- 24 x^{2} + 384 = 0$

解题步骤 5.3

求解 $x$ 的方程。

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解题步骤 5.3.1

从等式两边同时减去 $384$ 。

$- 24 x^{2} = - 384$

解题步骤 5.3.2

将 $- 24 x^{2} = - 384$ 中的每一项除以 $- 24$ 并化简。

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解题步骤 5.3.2.1

将 $- 24 x^{2} = - 384$ 中的每一项都除以 $- 24$ 。

$\frac{- 24 x^{2}}{- 24} = \frac{- 384}{- 24}$

解题步骤 5.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.2.1

约去 $- 24$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 24 x^{2}}{- 24} = \frac{- 384}{- 24}$

解题步骤 5.3.2.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{- 384}{- 24}$

解题步骤 5.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.2.3.1

用 $- 384$ 除以 $- 24$ 。

$x^{2} = 16$

解题步骤 5.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

解题步骤 5.3.4

化简 $\pm \sqrt{16}$ 。

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解题步骤 5.3.4.1

将 $16$ 重写为 $4^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

解题步骤 5.3.4.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 4$

解题步骤 5.3.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.3.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 4$

解题步骤 5.3.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 4$

解题步骤 5.3.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 4, - 4$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 4, - 4$

解题步骤 8

计算在 $x = 4$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{48 (4) ({(4)}^{2} - 48)}{{({(4)}^{2} + 16)}^{3}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

将 $48$ 乘以 $4$ 。

$- \frac{192 (4^{2} - 48)}{{(4^{2} + 16)}^{3}}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{192 (4^{2} - 48)}{{(16 + 16)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2

将 $16$ 和 $16$ 相加。

$- \frac{192 (4^{2} - 48)}{32^{3}}$

解题步骤 9.2.3

对 $32$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{192 (4^{2} - 48)}{32768}$

解题步骤 9.3

化简分子。

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解题步骤 9.3.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{192 (16 - 48)}{32768}$

解题步骤 9.3.2

从 $16$ 中减去 $48$ 。

$- \frac{192 \cdot - 32}{32768}$

解题步骤 9.4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 9.4.1

将 $192$ 乘以 $- 32$ 。

$- \frac{- 6144}{32768}$

解题步骤 9.4.2

约去 $- 6144$ 和 $32768$ 的公因数。

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解题步骤 9.4.2.1

从 $- 6144$ 中分解出因数 $2048$ 。

$- \frac{2048 (- 3)}{32768}$

解题步骤 9.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 9.4.2.2.1

从 $32768$ 中分解出因数 $2048$ 。

$- \frac{2048 \cdot - 3}{2048 \cdot 16}$

解题步骤 9.4.2.2.2

约去公因数。

$- \frac{2048 \cdot - 3}{2048 \cdot 16}$

解题步骤 9.4.2.2.3

重写表达式。

$- \frac{- 3}{16}$

解题步骤 9.4.3

将负号移到分数的前面。

$- - \frac{3}{16}$

解题步骤 9.5

乘以 $- - \frac{3}{16}$ 。

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解题步骤 9.5.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$1 (\frac{3}{16})$

解题步骤 9.5.2

将 $\frac{3}{16}$ 乘以 $1$ 。

$\frac{3}{16}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 4$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 4$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 4$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$g (4) = - \frac{24 (4)}{{(4)}^{2} + 16}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

将 $24$ 乘以 $4$ 。

$g (4) = - \frac{96}{4^{2} + 16}$

解题步骤 11.2.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.2.1

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$g (4) = - \frac{96}{16 + 16}$

解题步骤 11.2.2.2

将 $16$ 和 $16$ 相加。

$g (4) = - \frac{96}{32}$

解题步骤 11.2.3

化简表达式。

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解题步骤 11.2.3.1

用 $96$ 除以 $32$ 。

$g (4) = - 1 \cdot 3$

解题步骤 11.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$g (4) = - 3$

解题步骤 11.2.4

最终答案为 $- 3$ 。

$y = - 3$

解题步骤 12

计算在 $x = - 4$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{48 (- 4) ({(- 4)}^{2} - 48)}{{({(- 4)}^{2} + 16)}^{3}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

将 $48$ 乘以 $- 4$ 。

$- \frac{- 192 ({(- 4)}^{2} - 48)}{{({(- 4)}^{2} + 16)}^{3}}$

解题步骤 13.2

化简分母。

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解题步骤 13.2.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{- 192 ({(- 4)}^{2} - 48)}{{(16 + 16)}^{3}}$

解题步骤 13.2.2

将 $16$ 和 $16$ 相加。

$- \frac{- 192 ({(- 4)}^{2} - 48)}{32^{3}}$

解题步骤 13.2.3

对 $32$ 进行 $3$ 次方运算。

$- \frac{- 192 ({(- 4)}^{2} - 48)}{32768}$

解题步骤 13.3

化简分子。

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解题步骤 13.3.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$- \frac{- 192 (16 - 48)}{32768}$

解题步骤 13.3.2

从 $16$ 中减去 $48$ 。

$- \frac{- 192 \cdot - 32}{32768}$

解题步骤 13.4

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 13.4.1

将 $- 192$ 乘以 $- 32$ 。

$- \frac{6144}{32768}$

解题步骤 13.4.2

约去 $6144$ 和 $32768$ 的公因数。

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解题步骤 13.4.2.1

从 $6144$ 中分解出因数 $2048$ 。

$- \frac{2048 (3)}{32768}$

解题步骤 13.4.2.2

约去公因数。

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解题步骤 13.4.2.2.1

从 $32768$ 中分解出因数 $2048$ 。

$- \frac{2048 \cdot 3}{2048 \cdot 16}$

解题步骤 13.4.2.2.2

约去公因数。

$- \frac{2048 \cdot 3}{2048 \cdot 16}$

解题步骤 13.4.2.2.3

重写表达式。

$- \frac{3}{16}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 4$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 4$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = - 4$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$g (- 4) = - \frac{24 (- 4)}{{(- 4)}^{2} + 16}$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

将 $24$ 乘以 $- 4$ 。

$g (- 4) = - \frac{- 96}{{(- 4)}^{2} + 16}$

解题步骤 15.2.2

化简分母。

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解题步骤 15.2.2.1

对 $- 4$ 进行 $2$ 次方运算。

$g (- 4) = - \frac{- 96}{16 + 16}$

解题步骤 15.2.2.2

将 $16$ 和 $16$ 相加。

$g (- 4) = - \frac{- 96}{32}$

解题步骤 15.2.3

化简表达式。

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解题步骤 15.2.3.1

用 $- 96$ 除以 $32$ 。

$g (- 4) = 3$

解题步骤 15.2.3.2

将 $- 1$ 乘以 $- 3$ 。

$g (- 4) = 3$

解题步骤 15.2.4

最终答案为 $3$ 。

$y = 3$

解题步骤 16

这些是 $g (x) = - \frac{24 x}{x^{2} + 16}$ 的局部极值。

$(4, - 3)$ 是一个局部最小值

$(- 4, 3)$ 是一个局部最大值

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例