微积分学 示例

求出局部极大值与局部极小值 f(x)=x+sin(x)
解题步骤 1
求函数的一阶导数。
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解题步骤 1.1
求微分。
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解题步骤 1.1.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 1.1.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中
解题步骤 1.2
的导数为
解题步骤 2
求函数的二阶导数。
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解题步骤 2.1
求微分。
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解题步骤 2.1.1
根据加法法则, 的导数是
解题步骤 2.1.2
因为 对于 是常数,所以 的导数为
解题步骤 2.2
的导数为
解题步骤 2.3
中减去
解题步骤 3
要求函数的极大值与极小值,请将导数设为等于 并求解。
解题步骤 4
从等式两边同时减去
解题步骤 5
取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的
解题步骤 6
化简右边。
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解题步骤 6.1
的准确值为
解题步骤 7
余弦函数在第二象限和第三象限为负。要求第二个解,应从 中减去参考角以求第三象限中的解。
解题步骤 8
中减去
解题步骤 9
方程 的解。
解题步骤 10
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 11
计算二阶导数。
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解题步骤 11.1
在第一象限中找出三角函数值与之相等的角,并使用这一参考角。
解题步骤 11.2
的准确值为
解题步骤 11.3
乘以
解题步骤 12
因为至少有一个点是 或使二阶导数无意义,所以使用一阶导数判别法。
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解题步骤 12.1
根据使一阶导数为 或无意义的 值,将 分割为不同的区间。
解题步骤 12.2
将区间 内的任一数字(例如 )代入一阶导数 中,检查所得结果是负数还是正数。
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解题步骤 12.2.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 12.2.2
化简结果。
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解题步骤 12.2.2.1
的准确值为
解题步骤 12.2.2.2
相加。
解题步骤 12.2.2.3
最终答案为
解题步骤 12.3
将区间 内的任一数字(例如 )代入一阶导数 中,检查所得结果是负数还是正数。
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解题步骤 12.3.1
使用表达式中的 替换变量
解题步骤 12.3.2
化简结果。
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解题步骤 12.3.2.1
计算
解题步骤 12.3.2.2
相加。
解题步骤 12.3.2.3
最终答案为
解题步骤 12.4
由于一阶导数在 周围没有改变符号,因此这不是极大值或极小值。
不存在极大值或极小值
解题步骤 12.5
对于 ,不存在局部最大值和最小值。
没有局部最大值或最小值
没有局部最大值或最小值
解题步骤 13