微积分学示例

$g (y) = \frac{y - 1}{y^{2} - y + 1}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = y - 1$ 且 $g (y) = y^{2} - y + 1$ 。

$\frac{(y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $y - 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 。

$\frac{(y^{2} - y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.3

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + 0) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(y^{2} - y + 1) \cdot 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.4.2

将 $y^{2} - y + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.5

根据加法法则， $y^{2} - y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.7

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.10

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + 0)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.2.11

将 $2 y - 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y - - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2

化简分子。

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解题步骤 1.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y + 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- y + 1) (2 y - 1)$ 。

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解题步骤 1.3.2.1.2.1

运用分配律。

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.1.2.2

运用分配律。

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.1.2.3

运用分配律。

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.2.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.1.3.1.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 1.3.2.1.3.1.2.1

移动 $y$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.1.3.1.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.1.3.1.4

乘以 $- y \cdot - 1$ 。

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解题步骤 1.3.2.1.3.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 1 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.1.3.1.4.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.1.3.1.5

将 $2 y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.1.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.1.3.2

将 $y$ 和 $2 y$ 相加。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.2

合并 $y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 1.3.2.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y + 0}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.2.2

将 $y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.3

从 $y^{2}$ 中减去 $2 y^{2}$ 。

$\frac{- y^{2} - y + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.2.4

将 $- y$ 和 $3 y$ 相加。

$\frac{- y^{2} + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3

从 $- y^{2} + 2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 1.3.3.1

从 $- y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (- y) + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3.2

从 $2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (- y) + y \cdot 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.3.3

从 $y (- y) + y \cdot 2$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (- y + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.4

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{y (- (y) + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.5

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{y (- (y) - 1 (- 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.6

从 $- (y) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{y (- (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.7

将 $- (y - 2)$ 重写为 $- 1 (y - 2)$ 。

$\frac{y (- 1 (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 1.3.8

将负号移到分数的前面。

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = - 1$ 且 $g (y) = \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$ 。

$g'' (y) = - \frac{d}{d y} \cdot \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ 等于 $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ ，其中 $f (y) = y (y - 2)$ 且 $g (y) = {(y^{2} - y + 1)}^{2}$ 。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} (y (y - 2)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{({(y^{2} - y + 1)}^{2})}^{2}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.3

将 ${({(y^{2} - y + 1)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} (y (y - 2)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{2 \cdot 2}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.3.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} \frac{d}{d y} (y (y - 2)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ 等于 $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ，其中 $f (y) = y$ 且 $g (y) = y - 2$ 。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y \frac{d}{d y} (y - 2) + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.5

求微分。

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解题步骤 2.5.1

根据加法法则， $y - 2$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 2]$ 。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y (\frac{d}{d y} (y) + \frac{d}{d y} (- 2)) + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y (1 + \frac{d}{d y} (- 2)) + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.5.3

因为 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 2$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y (1 + 0) + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.5.4

化简表达式。

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解题步骤 2.5.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y \cdot 1 + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.5.4.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y + (y - 2) \frac{d}{d y} (y)) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.5.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y + (y - 2) \cdot 1) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.5.6

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 2.5.6.1

将 $y - 2$ 乘以 $1$ 。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (y + y - 2) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.5.6.2

将 $y$ 和 $y$ 相加。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - y (y - 2) \frac{d}{d y} {(y^{2} - y + 1)}^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.6

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ 等于 $f' (g (y)) g' (y)$ ，其中 $f (y) = y^{2}$ 且 $g (y) = y^{2} - y + 1$ 。

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解题步骤 2.6.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $y^{2} - y + 1$ 。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - y (y - 2) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.6.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - y (y - 2) (2 u \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.6.3

使用 $y^{2} - y + 1$ 替换所有出现的 $u$ 。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - y (y - 2) (2 (y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.7

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.7.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$g'' (y) = - \frac{{(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - 2 y (y - 2) ((y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.7.2

从 ${(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2) - 2 y (y - 2) ((y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1])$ 中分解出因数 $y^{2} - y + 1$ 。

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解题步骤 2.7.2.1

从 ${(y^{2} - y + 1)}^{2} (2 y - 2)$ 中分解出因数 $y^{2} - y + 1$ 。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2)) - 2 y (y - 2) ((y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.7.2.2

从 $- 2 y (y - 2) ((y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1])$ 中分解出因数 $y^{2} - y + 1$ 。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2)) + (y^{2} - y + 1) (- 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1)))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.7.2.3

从 $(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2)) + (y^{2} - y + 1) (- 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]))$ 中分解出因数 $y^{2} - y + 1$ 。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1)))}{{(y^{2} - y + 1)}^{4}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.8

约去公因数。

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解题步骤 2.8.1

从 ${(y^{2} - y + 1)}^{4}$ 中分解出因数 $y^{2} - y + 1$ 。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) ((y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1)))}{(y^{2} - y + 1) {(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.8.2

约去公因数。

解题步骤 2.8.3

重写表达式。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2} - y + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.9

根据加法法则， $y^{2} - y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (\frac{d}{d y} (y^{2}) + \frac{d}{d y} (- y) + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.10

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y + \frac{d}{d y} (- y) + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.11

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.13

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1 + \frac{d}{d y} (1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.14

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1 + 0)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.15

将 $2 y - 1$ 和 $0$ 相加。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot \frac{d}{d y} (- 1)$

解题步骤 2.16

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} \cdot 0$

解题步骤 2.17

化简表达式。

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解题步骤 2.17.1

将 $\frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$ 乘以 $0$ 。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}} + 0$

解题步骤 2.17.2

将 $- \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$ 和 $0$ 相加。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) - 2 y (y - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18

化简。

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解题步骤 2.18.1

运用分配律。

$g'' (y) = - \frac{(y^{2} - y + 1) (2 y - 2) + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2

化简分子。

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解题步骤 2.18.2.1

化简每一项。

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解题步骤 2.18.2.1.1

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(y^{2} - y + 1) (2 y - 2)$ 。

$g'' (y) = - \frac{y^{2} (2 y) + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.2

化简每一项。

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解题步骤 2.18.2.1.2.1

使用乘法的交换性质重写。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{2} y + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.2.2

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.18.2.1.2.2.1

移动 $y$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 (y \cdot y^{2}) + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.2.2.2

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 2.18.2.1.2.2.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$g'' (y) = - \frac{2 (y \cdot y^{2}) + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.2.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{1 + 2} + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.2.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} + y^{2} \cdot - 2 - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.2.3

将 $- 2$ 移到 $y^{2}$ 的左侧。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 \cdot y^{2} - y (2 y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.2.4

使用乘法的交换性质重写。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 1 \cdot (2 y \cdot y) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.2.5

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.18.2.1.2.5.1

移动 $y$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 1 \cdot (2 (y \cdot y)) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.2.5.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 1 \cdot (2 y^{2}) - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.2.6

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 2 y^{2} - y \cdot - 2 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.2.7

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 2 y^{2} + 2 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.2.8

将 $2 y$ 乘以 $1$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 2 y^{2} + 2 y + 2 y + 1 \cdot - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.2.9

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 2 y^{2} - 2 y^{2} + 2 y + 2 y - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.3

从 $- 2 y^{2}$ 中减去 $2 y^{2}$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 2 y + 2 y - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.4

将 $2 y$ 和 $2 y$ 相加。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 + (- 2 y \cdot y - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.5

化简每一项。

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解题步骤 2.18.2.1.5.1

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.18.2.1.5.1.1

移动 $y$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 + (- 2 (y \cdot y) - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.5.1.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 + (- 2 y^{2} - 2 y \cdot - 2) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.5.2

将 $- 2$ 乘以 $- 2$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 + (- 2 y^{2} + 4 y) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.6

使用 FOIL 方法展开 $(- 2 y^{2} + 4 y) (2 y - 1)$ 。

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解题步骤 2.18.2.1.6.1

运用分配律。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 y^{2} (2 y - 1) + 4 y (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.6.2

运用分配律。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 y^{2} (2 y) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.6.3

运用分配律。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 y^{2} (2 y) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.7

化简并合并同类项。

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解题步骤 2.18.2.1.7.1

化简每一项。

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解题步骤 2.18.2.1.7.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 y^{2} y) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.7.1.2

通过指数相加将 $y^{2}$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.18.2.1.7.1.2.1

移动 $y$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 (y \cdot y^{2})) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.7.1.2.2

将 $y$ 乘以 $y^{2}$ 。

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解题步骤 2.18.2.1.7.1.2.2.1

对 $y$ 进行 $1$ 次方运算。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 (y \cdot y^{2})) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.7.1.2.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 y^{1 + 2}) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.7.1.2.3

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 2 \cdot (2 y^{3}) - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.7.1.3

将 $- 2$ 乘以 $2$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} - 2 y^{2} \cdot - 1 + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.7.1.4

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 4 y (2 y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.7.1.5

使用乘法的交换性质重写。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 4 \cdot (2 y \cdot y) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.7.1.6

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 2.18.2.1.7.1.6.1

移动 $y$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 4 \cdot (2 (y \cdot y)) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.7.1.6.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 4 \cdot (2 y^{2}) + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.7.1.7

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 8 y^{2} + 4 y \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.7.1.8

将 $- 1$ 乘以 $4$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 2 y^{2} + 8 y^{2} - 4 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.1.7.2

将 $2 y^{2}$ 和 $8 y^{2}$ 相加。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2} - 4 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.2

合并 $2 y^{3} - 4 y^{2} + 4 y - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2} - 4 y$ 中相反的项。

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解题步骤 2.18.2.2.1

从 $4 y$ 中减去 $4 y$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2} + 0}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.2.2

将 $2 y^{3} - 4 y^{2} - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2}$ 和 $0$ 相加。

$g'' (y) = - \frac{2 y^{3} - 4 y^{2} - 2 - 4 y^{3} + 10 y^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.3

从 $2 y^{3}$ 中减去 $4 y^{3}$ 。

$g'' (y) = - \frac{- 2 y^{3} - 4 y^{2} - 2 + 10 y^{2}}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.4

将 $- 4 y^{2}$ 和 $10 y^{2}$ 相加。

$g'' (y) = - \frac{- 2 y^{3} + 6 y^{2} - 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.3

从 $- 2 y^{3} + 6 y^{2} - 2$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.18.3.1

从 $- 2 y^{3}$ 中分解出因数 $2$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3}) + 6 y^{2} - 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.3.2

从 $6 y^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3}) + 2 (3 y^{2}) - 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.3.3

从 $- 2$ 中分解出因数 $2$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3}) + 2 (3 y^{2}) + 2 (- 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.3.4

从 $2 (- y^{3}) + 2 (3 y^{2})$ 中分解出因数 $2$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3} + 3 y^{2}) + 2 (- 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.3.5

从 $2 (- y^{3} + 3 y^{2}) + 2 (- 1)$ 中分解出因数 $2$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 (- y^{3} + 3 y^{2} - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.4

从 $- y^{3}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3}) + 3 y^{2} - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.5

从 $3 y^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3}) - (- 3 y^{2}) - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.6

从 $- (y^{3}) - (- 3 y^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3} - 3 y^{2}) - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.7

将 $- 1$ 重写为 $- 1 (1)$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3} - 3 y^{2}) - 1 \cdot 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.8

从 $- (y^{3} - 3 y^{2}) - 1 (1)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 (- (y^{3} - 3 y^{2} + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.9

将 $- (y^{3} - 3 y^{2} + 1)$ 重写为 $- 1 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)$ 。

$g'' (y) = - \frac{2 (- 1 (y^{3} - 3 y^{2} + 1))}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.10

将负号移到分数的前面。

$g'' (y) = \frac{2 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 2.18.11

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$g'' (y) = 1 (\frac{2 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}})$

解题步骤 2.18.12

将 $\frac{2 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$ 乘以 $1$ 。

$g'' (y) = \frac{2 (y^{3} - 3 y^{2} + 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{3}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

$\frac{(y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2

求微分。

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解题步骤 4.1.2.1

根据加法法则， $y - 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ 。

$\frac{(y^{2} - y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.3

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + 0) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.4

化简表达式。

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解题步骤 4.1.2.4.1

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{(y^{2} - y + 1) \cdot 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.4.2

将 $y^{2} - y + 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.5

根据加法法则， $y^{2} - y + 1$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.6

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.7

因为 $- 1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- y$ 对 $y$ 的导数是 $- \frac{d}{d y} [y]$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.9

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.10

因为 $1$ 对于 $y$ 是常数，所以 $1$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + 0)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.2.11

将 $2 y - 1$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3

化简。

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解题步骤 4.1.3.1

运用分配律。

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y - - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2

化简分子。

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解题步骤 4.1.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.3.2.1.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y + 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2.1.2

使用 FOIL 方法展开 $(- y + 1) (2 y - 1)$ 。

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解题步骤 4.1.3.2.1.2.1

运用分配律。

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2.1.2.2

运用分配律。

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2.1.2.3

运用分配律。

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2.1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.1.3.2.1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.1.3.2.1.3.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2.1.3.1.2

通过指数相加将 $y$ 乘以 $y$ 。

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解题步骤 4.1.3.2.1.3.1.2.1

移动 $y$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2.1.3.1.2.2

将 $y$ 乘以 $y$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2.1.3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2.1.3.1.4

乘以 $- y \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.1.3.2.1.3.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 1 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2.1.3.1.4.2

将 $y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2.1.3.1.5

将 $2 y$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2.1.3.1.6

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2.1.3.2

将 $y$ 和 $2 y$ 相加。

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2.2

合并 $y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1$ 中相反的项。

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解题步骤 4.1.3.2.2.1

从 $1$ 中减去 $1$ 。

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y + 0}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2.2.2

将 $y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y$ 和 $0$ 相加。

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2.3

从 $y^{2}$ 中减去 $2 y^{2}$ 。

$\frac{- y^{2} - y + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.2.4

将 $- y$ 和 $3 y$ 相加。

$\frac{- y^{2} + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.3

从 $- y^{2} + 2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

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解题步骤 4.1.3.3.1

从 $- y^{2}$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (- y) + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.3.2

从 $2 y$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (- y) + y \cdot 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.3.3

从 $y (- y) + y \cdot 2$ 中分解出因数 $y$ 。

$\frac{y (- y + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.4

从 $- y$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{y (- (y) + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.5

将 $2$ 重写为 $- 1 (- 2)$ 。

$\frac{y (- (y) - 1 (- 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.6

从 $- (y) - 1 (- 2)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$\frac{y (- (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.7

将 $- (y - 2)$ 重写为 $- 1 (y - 2)$ 。

$\frac{y (- 1 (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.1.3.8

将负号移到分数的前面。

$f' (y) = - \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 4.2

$g (y)$ 对 $y$ 的一阶导数是 $- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$ 。

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}} = 0$

解题步骤 5.2

将分子设为等于零。

$y (y - 2) = 0$

解题步骤 5.3

求解 $y$ 的方程。

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解题步骤 5.3.1

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$y = 0$

$y - 2 = 0$

解题步骤 5.3.2

将 $y$ 设为等于 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 5.3.3

将 $y - 2$ 设为等于 $0$ 并求解 $y$ 。

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解题步骤 5.3.3.1

将 $y - 2$ 设为等于 $0$ 。

$y - 2 = 0$

解题步骤 5.3.3.2

在等式两边都加上 $2$ 。

$y = 2$

解题步骤 5.3.4

最终解为使 $y (y - 2) = 0$ 成立的所有值。

$y = 0, 2$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$y = 0, 2$

解题步骤 8

计算在 $y = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{2 ({(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2} + 1)}{{({(0)}^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{2 (0 - 3 \cdot 0^{2} + 1)}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.2

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{2 (0 - 3 \cdot 0 + 1)}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.3

将 $- 3$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2 (0 + 0 + 1)}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.4

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 (0 + 1)}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.1.5

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \cdot 1}{{(0^{2} - (0) + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2

化简分母。

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解题步骤 9.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{{(0 - (0) + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$\frac{2 \cdot 1}{{(0 + 0 + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$\frac{2 \cdot 1}{{(0 + 1)}^{3}}$

解题步骤 9.2.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \cdot 1}{1^{3}}$

解题步骤 9.2.5

一的任意次幂都为一。

$\frac{2 \cdot 1}{1}$

解题步骤 9.3

化简表达式。

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解题步骤 9.3.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$\frac{2}{1}$

解题步骤 9.3.2

用 $2$ 除以 $1$ 。

$2$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $y = 0$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$y = 0$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $y = 0$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $y$ 。

$g (0) = \frac{(0) - 1}{{(0)}^{2} - (0) + 1}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

从 $0$ 中减去 $1$ 。

$g (0) = \frac{- 1}{0^{2} - (0) + 1}$

解题步骤 11.2.2

化简分母。

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解题步骤 11.2.2.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$g (0) = \frac{- 1}{0 - (0) + 1}$

解题步骤 11.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$g (0) = \frac{- 1}{0 + 0 + 1}$

解题步骤 11.2.2.3

将 $0$ 和 $0$ 相加。

$g (0) = \frac{- 1}{0 + 1}$

解题步骤 11.2.2.4

将 $0$ 和 $1$ 相加。

$g (0) = \frac{- 1}{1}$

解题步骤 11.2.3

用 $- 1$ 除以 $1$ 。

$g (0) = - 1$

解题步骤 11.2.4

最终答案为 $- 1$ 。

$y = - 1$

解题步骤 12

计算在 $y = 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{2 ({(2)}^{3} - 3 {(2)}^{2} + 1)}{{({(2)}^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简分子。

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解题步骤 13.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{2 (8 - 3 \cdot 2^{2} + 1)}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.2

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2 (8 - 3 \cdot 4 + 1)}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.3

将 $- 3$ 乘以 $4$ 。

$\frac{2 (8 - 12 + 1)}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.4

从 $8$ 中减去 $12$ 。

$\frac{2 (- 4 + 1)}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.1.5

将 $- 4$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \cdot - 3}{{(2^{2} - (2) + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2

化简分母。

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解题步骤 13.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{2 \cdot - 3}{{(4 - (2) + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 3}{{(4 - 2 + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.3

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$\frac{2 \cdot - 3}{{(2 + 1)}^{3}}$

解题步骤 13.2.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$\frac{2 \cdot - 3}{3^{3}}$

解题步骤 13.2.5

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\frac{2 \cdot - 3}{27}$

解题步骤 13.3

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 13.3.1

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$\frac{- 6}{27}$

解题步骤 13.3.2

约去 $- 6$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 13.3.2.1

从 $- 6$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 (- 2)}{27}$

解题步骤 13.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 13.3.2.2.1

从 $27$ 中分解出因数 $3$ 。

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 9}$

解题步骤 13.3.2.2.2

约去公因数。

$\frac{3 \cdot - 2}{3 \cdot 9}$

解题步骤 13.3.2.2.3

重写表达式。

$\frac{- 2}{9}$

解题步骤 13.3.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{2}{9}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $y = 2$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$y = 2$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $y = 2$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $y$ 。

$g (2) = \frac{(2) - 1}{{(2)}^{2} - (2) + 1}$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

从 $2$ 中减去 $1$ 。

$g (2) = \frac{1}{2^{2} - (2) + 1}$

解题步骤 15.2.2

化简分母。

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解题步骤 15.2.2.1

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$g (2) = \frac{1}{4 - (2) + 1}$

解题步骤 15.2.2.2

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$g (2) = \frac{1}{4 - 2 + 1}$

解题步骤 15.2.2.3

从 $4$ 中减去 $2$ 。

$g (2) = \frac{1}{2 + 1}$

解题步骤 15.2.2.4

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$g (2) = \frac{1}{3}$

解题步骤 15.2.3

最终答案为 $\frac{1}{3}$ 。

$y = \frac{1}{3}$

解题步骤 16

这些是 $g (y) = \frac{y - 1}{y^{2} - y + 1}$ 的局部极值。

$(0, - 1)$ 是一个局部最小值

$(2, \frac{1}{3})$ 是一个局部最大值

解题步骤 17

微积分学 示例

微积分学示例