微积分学示例

$u (y) = 100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [100 x] + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d y} [100 x] + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

解题步骤 1.1.2

因为 $100 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $100 x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d y} [40 y]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $40$ 对于 $y$ 是常数，所以 $40 y$ 对 $y$ 的导数是 $40 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$0 + 40 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 40 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

解题步骤 1.2.3

将 $40$ 乘以 $1$ 。

$0 + 40 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

解题步骤 1.3

因为 $- 5 x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 5 x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + 40 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

解题步骤 1.4

计算 $\frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ 。

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解题步骤 1.4.1

因为 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 2 y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$0 + 40 + 0 - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 40 + 0 - 2 (2 y)$

解题步骤 1.4.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$0 + 40 + 0 - 4 y$

解题步骤 1.5

化简。

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解题步骤 1.5.1

合并项。

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解题步骤 1.5.1.1

将 $0$ 和 $40$ 相加。

$40 + 0 - 4 y$

解题步骤 1.5.1.2

将 $40$ 和 $0$ 相加。

$40 - 4 y$

解题步骤 1.5.2

重新排序项。

$- 4 y + 40$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- 4 y + 40$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [- 4 y] + \frac{d}{d y} [40]$ 。

$u'' (y) = \frac{d}{d y} (- 4 y) + \frac{d}{d y} (40)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d y} [- 4 y]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 4$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 4 y$ 对 $y$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$u'' (y) = - 4 \frac{d}{d y} y + \frac{d}{d y} (40)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$u'' (y) = - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d y} (40)$

解题步骤 2.2.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$u'' (y) = - 4 + \frac{d}{d y} (40)$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $40$ 对于 $y$ 是常数，所以 $40$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$u'' (y) = - 4 + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $- 4$ 和 $0$ 相加。

$u'' (y) = - 4$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- 4 y + 40 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $\frac{d}{d y} [100 x] + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ 。

$\frac{d}{d y} [100 x] + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

解题步骤 4.1.1.2

因为 $100 x$ 对于 $y$ 是常数，所以 $100 x$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + \frac{d}{d y} [40 y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d y} [40 y]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $40$ 对于 $y$ 是常数，所以 $40 y$ 对 $y$ 的导数是 $40 \frac{d}{d y} [y]$ 。

$0 + 40 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$0 + 40 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

解题步骤 4.1.2.3

将 $40$ 乘以 $1$ 。

$0 + 40 + \frac{d}{d y} [- 5 x^{2}] + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

解题步骤 4.1.3

因为 $- 5 x^{2}$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 5 x^{2}$ 对 $y$ 的导数为 $0$ 。

$0 + 40 + 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$

解题步骤 4.1.4

计算 $\frac{d}{d y} [- 2 y^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $- 2$ 对于 $y$ 是常数，所以 $- 2 y^{2}$ 对 $y$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ 。

$0 + 40 + 0 - 2 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

解题步骤 4.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ 等于 $n y^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$0 + 40 + 0 - 2 (2 y)$

解题步骤 4.1.4.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$0 + 40 + 0 - 4 y$

解题步骤 4.1.5

化简。

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解题步骤 4.1.5.1

合并项。

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解题步骤 4.1.5.1.1

将 $0$ 和 $40$ 相加。

$40 + 0 - 4 y$

解题步骤 4.1.5.1.2

将 $40$ 和 $0$ 相加。

$40 - 4 y$

解题步骤 4.1.5.2

重新排序项。

$f' (y) = - 4 y + 40$

解题步骤 4.2

$u (y)$ 对 $y$ 的一阶导数是 $- 4 y + 40$ 。

$- 4 y + 40$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- 4 y + 40 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- 4 y + 40 = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $40$ 。

$- 4 y = - 40$

解题步骤 5.3

将 $- 4 y = - 40$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $- 4 y = - 40$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 40}{- 4}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 y}{- 4} = \frac{- 40}{- 4}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $y$ 除以 $1$ 。

$y = \frac{- 40}{- 4}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

用 $- 40$ 除以 $- 4$ 。

$y = 10$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$y = 10$

解题步骤 8

计算在 $y = 10$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- 4$

解题步骤 9

因为二阶导数的值为负数，所以 $y = 10$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$y = 10$ 是一个极大值

解题步骤 10

求 $y = 10$ 时的 y 值。

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解题步骤 10.1

使用表达式中的 $10$ 替换变量 $y$ 。

$u (10) = 100 x + 40 (10) - 5 x^{2} - 2 {(10)}^{2}$

解题步骤 10.2

化简结果。

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解题步骤 10.2.1

化简每一项。

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解题步骤 10.2.1.1

将 $40$ 乘以 $10$ 。

$u (10) = 100 x + 400 - 5 x^{2} - 2 {(10)}^{2}$

解题步骤 10.2.1.2

对 $10$ 进行 $2$ 次方运算。

$u (10) = 100 x + 400 - 5 x^{2} - 2 \cdot 100$

解题步骤 10.2.1.3

将 $- 2$ 乘以 $100$ 。

$u (10) = 100 x + 400 - 5 x^{2} - 200$

解题步骤 10.2.2

从 $400$ 中减去 $200$ 。

$u (10) = 100 x - 5 x^{2} + 200$

解题步骤 10.2.3

最终答案为 $100 x - 5 x^{2} + 200$ 。

$y = 100 x - 5 x^{2} + 200$

解题步骤 11

这些是 $u (y) = 100 x + 40 y - 5 x^{2} - 2 y^{2}$ 的局部极值。

$(10, 100 x - 5 x^{2} + 200)$ 是一个局部最大值

解题步骤 12

微积分学 示例

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