微积分学示例

$y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$

解题步骤 1

将 $y = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$ 书写为一个函数。

$f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2.4

组合 $\frac{3}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.5.1

约去公因数。

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.2.5.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.4

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 2.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$x^{2} - 4 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$x^{2} - 4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.4.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$x^{2} - 4 x + 3 + \frac{d}{d x} [2]$

解题步骤 2.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.5.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$x^{2} - 4 x + 3 + 0$

解题步骤 2.5.2

将 $x^{2} - 4 x + 3$ 和 $0$ 相加。

$x^{2} - 4 x + 3$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

求微分。

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解题步骤 3.1.1

根据加法法则， $x^{2} - 4 x + 3$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [3]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 3.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 2 x + \frac{d}{d x} (- 4 x) + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 4 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 2 x - 4 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 3.2.3

将 $- 4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 2 x - 4 + \frac{d}{d x} (3)$

解题步骤 3.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 3.3.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 2 x - 4 + 0$

解题步骤 3.3.2

将 $2 x - 4$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 2 x - 4$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$x^{2} - 4 x + 3 = 0$

解题步骤 5

求一阶导数。

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解题步骤 5.1

求一阶导数。

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解题步骤 5.1.1

根据加法法则， $\frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 5.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} x^{3}]$ 。

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解题步骤 5.1.2.1

因为 $\frac{1}{3}$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{1}{3} x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 5.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = \frac{1}{3} \cdot (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 5.1.2.3

组合 $3$ 和 $\frac{1}{3}$ 。

$f' (x) = \frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 5.1.2.4

组合 $\frac{3}{3}$ 和 $x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 5.1.2.5

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.1.2.5.1

约去公因数。

$f' (x) = \frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 5.1.2.5.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$f' (x) = x^{2} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 5.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ 。

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解题步骤 5.1.3.1

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = x^{2} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 5.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = x^{2} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 5.1.3.3

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f' (x) = x^{2} - 4 x + \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 5.1.4

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 5.1.4.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 5.1.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 5.1.4.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 + \frac{d}{d x} (2)$

解题步骤 5.1.5

使用常数法则求导。

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解题步骤 5.1.5.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3 + 0$

解题步骤 5.1.5.2

将 $x^{2} - 4 x + 3$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = x^{2} - 4 x + 3$

解题步骤 5.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $x^{2} - 4 x + 3$ 。

$x^{2} - 4 x + 3$

解题步骤 6

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $x^{2} - 4 x + 3 = 0$ 。

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解题步骤 6.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$x^{2} - 4 x + 3 = 0$

解题步骤 6.2

使用 AC 法来对 $x^{2} - 4 x + 3$ 进行因式分解。

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解题步骤 6.2.1

思考一下 $x^{2} + b x + c$ 这种形式。找出一对整数，其积为 $c$ ，且和为 $b$ 。在本例中，其积即为 $3$ ，和为 $- 4$ 。

$- 3, - 1$

解题步骤 6.2.2

使用这些整数书写分数形式。

$(x - 3) (x - 1) = 0$

解题步骤 6.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

$x - 1 = 0$

解题步骤 6.4

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.4.1

将 $x - 3$ 设为等于 $0$ 。

$x - 3 = 0$

解题步骤 6.4.2

在等式两边都加上 $3$ 。

$x = 3$

解题步骤 6.5

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 6.5.1

将 $x - 1$ 设为等于 $0$ 。

$x - 1 = 0$

解题步骤 6.5.2

在等式两边都加上 $1$ 。

$x = 1$

解题步骤 6.6

最终解为使 $(x - 3) (x - 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = 3, 1$

解题步骤 7

求使导数无意义的值。

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解题步骤 7.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 8

要计算的驻点。

$x = 3, 1$

解题步骤 9

计算在 $x = 3$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2 (3) - 4$

解题步骤 10

计算二阶导数。

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解题步骤 10.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$6 - 4$

解题步骤 10.2

从 $6$ 中减去 $4$ 。

$2$

解题步骤 11

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 3$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 3$ 是一个极小值

解题步骤 12

求 $x = 3$ 时的 y 值。

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解题步骤 12.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot {(3)}^{3} - 2 {(3)}^{2} + 3 (3) + 2$

解题步骤 12.2

化简结果。

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解题步骤 12.2.1

化简每一项。

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解题步骤 12.2.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 12.2.1.1.1

从 ${(3)}^{3}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 2 {(3)}^{2} + 3 (3) + 2$

解题步骤 12.2.1.1.2

约去公因数。

$f (3) = \frac{1}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2}) - 2 {(3)}^{2} + 3 (3) + 2$

解题步骤 12.2.1.1.3

重写表达式。

$f (3) = 3^{2} - 2 {(3)}^{2} + 3 (3) + 2$

解题步骤 12.2.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (3) = 9 - 2 {(3)}^{2} + 3 (3) + 2$

解题步骤 12.2.1.3

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (3) = 9 - 2 \cdot 9 + 3 (3) + 2$

解题步骤 12.2.1.4

将 $- 2$ 乘以 $9$ 。

$f (3) = 9 - 18 + 3 (3) + 2$

解题步骤 12.2.1.5

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (3) = 9 - 18 + 9 + 2$

解题步骤 12.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 12.2.2.1

从 $9$ 中减去 $18$ 。

$f (3) = - 9 + 9 + 2$

解题步骤 12.2.2.2

将 $- 9$ 和 $9$ 相加。

$f (3) = 0 + 2$

解题步骤 12.2.2.3

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$f (3) = 2$

解题步骤 12.2.3

最终答案为 $2$ 。

$y = 2$

解题步骤 13

计算在 $x = 1$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2 (1) - 4$

解题步骤 14

计算二阶导数。

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解题步骤 14.1

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2 - 4$

解题步骤 14.2

从 $2$ 中减去 $4$ 。

$- 2$

解题步骤 15

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = 1$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 1$ 是一个极大值

解题步骤 16

求 $x = 1$ 时的 y 值。

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解题步骤 16.1

使用表达式中的 $1$ 替换变量 $x$ 。

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot {(1)}^{3} - 2 {(1)}^{2} + 3 (1) + 2$

解题步骤 16.2

化简结果。

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解题步骤 16.2.1

化简每一项。

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解题步骤 16.2.1.1

一的任意次幂都为一。

$f (1) = \frac{1}{3} \cdot 1 - 2 {(1)}^{2} + 3 (1) + 2$

解题步骤 16.2.1.2

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \frac{1}{3} - 2 {(1)}^{2} + 3 (1) + 2$

解题步骤 16.2.1.3

一的任意次幂都为一。

$f (1) = \frac{1}{3} - 2 \cdot 1 + 3 (1) + 2$

解题步骤 16.2.1.4

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \frac{1}{3} - 2 + 3 (1) + 2$

解题步骤 16.2.1.5

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f (1) = \frac{1}{3} - 2 + 3 + 2$

解题步骤 16.2.2

求公分母。

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解题步骤 16.2.2.1

将 $- 2$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} + 3 + 2$

解题步骤 16.2.2.2

将 $\frac{- 2}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2}{1} \cdot \frac{3}{3} + 3 + 2$

解题步骤 16.2.2.3

将 $\frac{- 2}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + 3 + 2$

解题步骤 16.2.2.4

将 $3$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3}{1} + 2$

解题步骤 16.2.2.5

将 $\frac{3}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3}{1} \cdot \frac{3}{3} + 2$

解题步骤 16.2.2.6

将 $\frac{3}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + 2$

解题步骤 16.2.2.7

将 $2$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{2}{1}$

解题步骤 16.2.2.8

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{3}$

解题步骤 16.2.2.9

将 $\frac{2}{1}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (1) = \frac{1}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 16.2.3

在公分母上合并分子。

$f (1) = \frac{1 - 2 \cdot 3 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 16.2.4

化简每一项。

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解题步骤 16.2.4.1

将 $- 2$ 乘以 $3$ 。

$f (1) = \frac{1 - 6 + 3 \cdot 3 + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 16.2.4.2

将 $3$ 乘以 $3$ 。

$f (1) = \frac{1 - 6 + 9 + 2 \cdot 3}{3}$

解题步骤 16.2.4.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f (1) = \frac{1 - 6 + 9 + 6}{3}$

解题步骤 16.2.5

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 16.2.5.1

从 $1$ 中减去 $6$ 。

$f (1) = \frac{- 5 + 9 + 6}{3}$

解题步骤 16.2.5.2

将 $- 5$ 和 $9$ 相加。

$f (1) = \frac{4 + 6}{3}$

解题步骤 16.2.5.3

将 $4$ 和 $6$ 相加。

$f (1) = \frac{10}{3}$

解题步骤 16.2.6

最终答案为 $\frac{10}{3}$ 。

$y = \frac{10}{3}$

解题步骤 17

这些是 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + 2$ 的局部极值。

$(3, 2)$ 是一个局部最小值

$(1, \frac{10}{3})$ 是一个局部最大值

解题步骤 18

微积分学 示例

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