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微积分学 示例
解题步骤 1
将 书写为一个函数。
解题步骤 2
解题步骤 2.1
求微分。
解题步骤 2.1.1
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 2.1.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.2
计算 。
解题步骤 2.2.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 2.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 2.2.3
将 乘以 。
解题步骤 3
解题步骤 3.1
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 3.2
计算 。
解题步骤 3.2.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 3.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 3.2.3
将 乘以 。
解题步骤 3.3
计算 。
解题步骤 3.3.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 3.3.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 3.3.3
将 乘以 。
解题步骤 4
要求函数的极大值与极小值,请将导数设为等于 并求解。
解题步骤 5
解题步骤 5.1
求一阶导数。
解题步骤 5.1.1
求微分。
解题步骤 5.1.1.1
根据加法法则, 对 的导数是 。
解题步骤 5.1.1.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 5.1.2
计算 。
解题步骤 5.1.2.1
因为 对于 是常数,所以 对 的导数是 。
解题步骤 5.1.2.2
使用幂法则求微分,根据该法则, 等于 ,其中 。
解题步骤 5.1.2.3
将 乘以 。
解题步骤 5.2
对 的一阶导数是 。
解题步骤 6
解题步骤 6.1
将一阶导数设为等于 。
解题步骤 6.2
从 中分解出因数 。
解题步骤 6.2.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 6.2.2
从 中分解出因数 。
解题步骤 6.2.3
从 中分解出因数 。
解题步骤 6.3
如果等式左侧的任一因数等于 ,则整个表达式将等于 。
解题步骤 6.4
将 设为等于 。
解题步骤 6.5
将 设为等于 并求解 。
解题步骤 6.5.1
将 设为等于 。
解题步骤 6.5.2
求解 的 。
解题步骤 6.5.2.1
在等式两边都加上 。
解题步骤 6.5.2.2
将 中的每一项除以 并化简。
解题步骤 6.5.2.2.1
将 中的每一项都除以 。
解题步骤 6.5.2.2.2
化简左边。
解题步骤 6.5.2.2.2.1
约去 的公因数。
解题步骤 6.5.2.2.2.1.1
约去公因数。
解题步骤 6.5.2.2.2.1.2
用 除以 。
解题步骤 6.5.2.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
解题步骤 6.5.2.4
化简 。
解题步骤 6.5.2.4.1
将 重写为 。
解题步骤 6.5.2.4.2
将 乘以 。
解题步骤 6.5.2.4.3
合并和化简分母。
解题步骤 6.5.2.4.3.1
将 乘以 。
解题步骤 6.5.2.4.3.2
对 进行 次方运算。
解题步骤 6.5.2.4.3.3
对 进行 次方运算。
解题步骤 6.5.2.4.3.4
使用幂法则 合并指数。
解题步骤 6.5.2.4.3.5
将 和 相加。
解题步骤 6.5.2.4.3.6
将 重写为 。
解题步骤 6.5.2.4.3.6.1
使用 ,将 重写成 。
解题步骤 6.5.2.4.3.6.2
运用幂法则并将指数相乘,。
解题步骤 6.5.2.4.3.6.3
组合 和 。
解题步骤 6.5.2.4.3.6.4
约去 的公因数。
解题步骤 6.5.2.4.3.6.4.1
约去公因数。
解题步骤 6.5.2.4.3.6.4.2
重写表达式。
解题步骤 6.5.2.4.3.6.5
计算指数。
解题步骤 6.5.2.4.4
化简分子。
解题步骤 6.5.2.4.4.1
使用根数乘积法则进行合并。
解题步骤 6.5.2.4.4.2
将 乘以 。
解题步骤 6.5.2.5
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
解题步骤 6.5.2.5.1
首先,利用 的正值求第一个解。
解题步骤 6.5.2.5.2
下一步,使用 的负值来求第二个解。
解题步骤 6.5.2.5.3
完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。
解题步骤 6.6
最终解为使 成立的所有值。
解题步骤 7
解题步骤 7.1
表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中,不存在使表达式无定义的实数。
解题步骤 8
要计算的驻点。
解题步骤 9
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 10
解题步骤 10.1
化简每一项。
解题步骤 10.1.1
对 进行任意正数次方的运算均得到 。
解题步骤 10.1.2
将 乘以 。
解题步骤 10.2
从 中减去 。
解题步骤 11
因为二阶导数的值为负数,所以 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极大值
解题步骤 12
解题步骤 12.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 12.2
化简结果。
解题步骤 12.2.1
化简每一项。
解题步骤 12.2.1.1
对 进行任意正数次方的运算均得到 。
解题步骤 12.2.1.2
对 进行任意正数次方的运算均得到 。
解题步骤 12.2.1.3
将 乘以 。
解题步骤 12.2.2
将 和 相加。
解题步骤 12.2.3
最终答案为 。
解题步骤 13
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 14
解题步骤 14.1
化简每一项。
解题步骤 14.1.1
对 运用乘积法则。
解题步骤 14.1.2
将 重写为 。
解题步骤 14.1.2.1
使用 ,将 重写成 。
解题步骤 14.1.2.2
运用幂法则并将指数相乘,。
解题步骤 14.1.2.3
组合 和 。
解题步骤 14.1.2.4
约去 的公因数。
解题步骤 14.1.2.4.1
约去公因数。
解题步骤 14.1.2.4.2
重写表达式。
解题步骤 14.1.2.5
计算指数。
解题步骤 14.1.3
对 进行 次方运算。
解题步骤 14.1.4
约去 的公因数。
解题步骤 14.1.4.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 14.1.4.2
约去公因数。
解题步骤 14.1.4.3
重写表达式。
解题步骤 14.1.5
将 乘以 。
解题步骤 14.2
从 中减去 。
解题步骤 15
因为二阶导数的值为正数,所以 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极小值
解题步骤 16
解题步骤 16.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 16.2
化简结果。
解题步骤 16.2.1
化简每一项。
解题步骤 16.2.1.1
对 运用乘积法则。
解题步骤 16.2.1.2
化简分子。
解题步骤 16.2.1.2.1
将 重写为 。
解题步骤 16.2.1.2.1.1
使用 ,将 重写成 。
解题步骤 16.2.1.2.1.2
运用幂法则并将指数相乘,。
解题步骤 16.2.1.2.1.3
组合 和 。
解题步骤 16.2.1.2.1.4
约去 和 的公因数。
解题步骤 16.2.1.2.1.4.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 16.2.1.2.1.4.2
约去公因数。
解题步骤 16.2.1.2.1.4.2.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 16.2.1.2.1.4.2.2
约去公因数。
解题步骤 16.2.1.2.1.4.2.3
重写表达式。
解题步骤 16.2.1.2.1.4.2.4
用 除以 。
解题步骤 16.2.1.2.2
对 进行 次方运算。
解题步骤 16.2.1.3
对 进行 次方运算。
解题步骤 16.2.1.4
约去 和 的公因数。
解题步骤 16.2.1.4.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 16.2.1.4.2
约去公因数。
解题步骤 16.2.1.4.2.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 16.2.1.4.2.2
约去公因数。
解题步骤 16.2.1.4.2.3
重写表达式。
解题步骤 16.2.1.5
对 运用乘积法则。
解题步骤 16.2.1.6
将 重写为 。
解题步骤 16.2.1.6.1
使用 ,将 重写成 。
解题步骤 16.2.1.6.2
运用幂法则并将指数相乘,。
解题步骤 16.2.1.6.3
组合 和 。
解题步骤 16.2.1.6.4
约去 的公因数。
解题步骤 16.2.1.6.4.1
约去公因数。
解题步骤 16.2.1.6.4.2
重写表达式。
解题步骤 16.2.1.6.5
计算指数。
解题步骤 16.2.1.7
对 进行 次方运算。
解题步骤 16.2.1.8
约去 和 的公因数。
解题步骤 16.2.1.8.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 16.2.1.8.2
约去公因数。
解题步骤 16.2.1.8.2.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 16.2.1.8.2.2
约去公因数。
解题步骤 16.2.1.8.2.3
重写表达式。
解题步骤 16.2.1.9
乘以 。
解题步骤 16.2.1.9.1
组合 和 。
解题步骤 16.2.1.9.2
将 乘以 。
解题步骤 16.2.1.10
将负号移到分数的前面。
解题步骤 16.2.2
要将 写成带有公分母的分数,请乘以 。
解题步骤 16.2.3
通过与 的合适因数相乘,将每一个表达式写成具有公分母 的形式。
解题步骤 16.2.3.1
将 乘以 。
解题步骤 16.2.3.2
将 乘以 。
解题步骤 16.2.4
在公分母上合并分子。
解题步骤 16.2.5
化简分子。
解题步骤 16.2.5.1
将 乘以 。
解题步骤 16.2.5.2
从 中减去 。
解题步骤 16.2.6
将负号移到分数的前面。
解题步骤 16.2.7
最终答案为 。
解题步骤 17
计算在 处的二阶导数。如果该二阶导数为正,那么这是一个极小值。如果为负,则为极大值。
解题步骤 18
解题步骤 18.1
化简每一项。
解题步骤 18.1.1
使用幂法则 分解指数。
解题步骤 18.1.1.1
对 运用乘积法则。
解题步骤 18.1.1.2
对 运用乘积法则。
解题步骤 18.1.2
对 进行 次方运算。
解题步骤 18.1.3
将 乘以 。
解题步骤 18.1.4
将 重写为 。
解题步骤 18.1.4.1
使用 ,将 重写成 。
解题步骤 18.1.4.2
运用幂法则并将指数相乘,。
解题步骤 18.1.4.3
组合 和 。
解题步骤 18.1.4.4
约去 的公因数。
解题步骤 18.1.4.4.1
约去公因数。
解题步骤 18.1.4.4.2
重写表达式。
解题步骤 18.1.4.5
计算指数。
解题步骤 18.1.5
对 进行 次方运算。
解题步骤 18.1.6
约去 的公因数。
解题步骤 18.1.6.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 18.1.6.2
约去公因数。
解题步骤 18.1.6.3
重写表达式。
解题步骤 18.1.7
将 乘以 。
解题步骤 18.2
从 中减去 。
解题步骤 19
因为二阶导数的值为正数,所以 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。
是一个极小值
解题步骤 20
解题步骤 20.1
使用表达式中的 替换变量 。
解题步骤 20.2
化简结果。
解题步骤 20.2.1
化简每一项。
解题步骤 20.2.1.1
使用幂法则 分解指数。
解题步骤 20.2.1.1.1
对 运用乘积法则。
解题步骤 20.2.1.1.2
对 运用乘积法则。
解题步骤 20.2.1.2
对 进行 次方运算。
解题步骤 20.2.1.3
将 乘以 。
解题步骤 20.2.1.4
化简分子。
解题步骤 20.2.1.4.1
将 重写为 。
解题步骤 20.2.1.4.1.1
使用 ,将 重写成 。
解题步骤 20.2.1.4.1.2
运用幂法则并将指数相乘,。
解题步骤 20.2.1.4.1.3
组合 和 。
解题步骤 20.2.1.4.1.4
约去 和 的公因数。
解题步骤 20.2.1.4.1.4.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 20.2.1.4.1.4.2
约去公因数。
解题步骤 20.2.1.4.1.4.2.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 20.2.1.4.1.4.2.2
约去公因数。
解题步骤 20.2.1.4.1.4.2.3
重写表达式。
解题步骤 20.2.1.4.1.4.2.4
用 除以 。
解题步骤 20.2.1.4.2
对 进行 次方运算。
解题步骤 20.2.1.5
对 进行 次方运算。
解题步骤 20.2.1.6
约去 和 的公因数。
解题步骤 20.2.1.6.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 20.2.1.6.2
约去公因数。
解题步骤 20.2.1.6.2.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 20.2.1.6.2.2
约去公因数。
解题步骤 20.2.1.6.2.3
重写表达式。
解题步骤 20.2.1.7
使用幂法则 分解指数。
解题步骤 20.2.1.7.1
对 运用乘积法则。
解题步骤 20.2.1.7.2
对 运用乘积法则。
解题步骤 20.2.1.8
对 进行 次方运算。
解题步骤 20.2.1.9
将 乘以 。
解题步骤 20.2.1.10
将 重写为 。
解题步骤 20.2.1.10.1
使用 ,将 重写成 。
解题步骤 20.2.1.10.2
运用幂法则并将指数相乘,。
解题步骤 20.2.1.10.3
组合 和 。
解题步骤 20.2.1.10.4
约去 的公因数。
解题步骤 20.2.1.10.4.1
约去公因数。
解题步骤 20.2.1.10.4.2
重写表达式。
解题步骤 20.2.1.10.5
计算指数。
解题步骤 20.2.1.11
对 进行 次方运算。
解题步骤 20.2.1.12
约去 和 的公因数。
解题步骤 20.2.1.12.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 20.2.1.12.2
约去公因数。
解题步骤 20.2.1.12.2.1
从 中分解出因数 。
解题步骤 20.2.1.12.2.2
约去公因数。
解题步骤 20.2.1.12.2.3
重写表达式。
解题步骤 20.2.1.13
乘以 。
解题步骤 20.2.1.13.1
组合 和 。
解题步骤 20.2.1.13.2
将 乘以 。
解题步骤 20.2.1.14
将负号移到分数的前面。
解题步骤 20.2.2
要将 写成带有公分母的分数,请乘以 。
解题步骤 20.2.3
通过与 的合适因数相乘,将每一个表达式写成具有公分母 的形式。
解题步骤 20.2.3.1
将 乘以 。
解题步骤 20.2.3.2
将 乘以 。
解题步骤 20.2.4
在公分母上合并分子。
解题步骤 20.2.5
化简分子。
解题步骤 20.2.5.1
将 乘以 。
解题步骤 20.2.5.2
从 中减去 。
解题步骤 20.2.6
将负号移到分数的前面。
解题步骤 20.2.7
最终答案为 。
解题步骤 21
这些是 的局部极值。
是一个局部最大值
是一个局部最小值
是一个局部最小值
解题步骤 22