微积分学示例

$y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

解题步骤 1

将 $y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ 书写为一个函数。

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

解题步骤 2

求函数的一阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ 。

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \sin (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

解题步骤 2.2.2

$\sin (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\cos (x)$ 。

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \cos^{2} (x)$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ 。

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = \cos (x)$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $\cos (x)$ 。

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 2.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$2 \cos (x) - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $\cos (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

解题步骤 2.3.3

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

解题步骤 2.3.4

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$2 \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

解题步骤 2.3.5

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$2 \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

重新排序项。

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

解题步骤 2.4.2

化简每一项。

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解题步骤 2.4.2.1

将 $2 \cos (x)$ 和 $\sin (x)$ 重新排序。

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

解题步骤 2.4.2.2

将 $\sin (x)$ 和 $2$ 重新排序。

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

解题步骤 2.4.2.3

使用正弦倍角公式。

$\sin (2 x) + 2 \cos (x)$

解题步骤 3

求函数的二阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ 。

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解题步骤 3.2.1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = \sin (x)$ 且 $g (x) = 2 x$ 。

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解题步骤 3.2.1.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

解题步骤 3.2.1.2

$\sin (u)$ 对 $u$ 的导数为 $\cos (u)$ 。

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

解题步骤 3.2.1.3

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

解题步骤 3.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

解题步骤 3.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

解题步骤 3.2.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

解题步骤 3.2.5

将 $2$ 移到 $\cos (2 x)$ 的左侧。

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 \cos (x)$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ 。

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

解题步骤 3.3.2

$\cos (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \sin (x)$ 。

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + 2 (- \sin (x))$

解题步骤 3.3.3

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

解题步骤 4

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$\sin (2 x) + 2 \cos (x) = 0$

解题步骤 5

使用正弦倍角公式。

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) = 0$

解题步骤 6

从 $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$ 中分解出因数 $2 \cos (x)$ 。

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解题步骤 6.1

从 $2 \sin (x) \cos (x)$ 中分解出因数 $2 \cos (x)$ 。

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

解题步骤 6.2

从 $2 \cos (x)$ 中分解出因数 $2 \cos (x)$ 。

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 = 0$

解题步骤 6.3

从 $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1$ 中分解出因数 $2 \cos (x)$ 。

$2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$

解题步骤 7

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 8

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 8.1

将 $\cos (x)$ 设为等于 $0$ 。

$\cos (x) = 0$

解题步骤 8.2

求解 $x$ 的 $\cos (x) = 0$ 。

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解题步骤 8.2.1

取方程两边的逆余弦从而提取余弦内的 $x$ 。

$x = \arccos (0)$

解题步骤 8.2.2

化简右边。

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解题步骤 8.2.2.1

$\arccos (0)$ 的准确值为 $\frac{π}{2}$ 。

$x = \frac{π}{2}$

解题步骤 8.2.3

余弦函数在第一象限和第四象限恒为正。要求第二个解，从 $2 π$ 中减去参考角即可求出第四象限中的解。

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

解题步骤 8.2.4

化简 $2 π - \frac{π}{2}$ 。

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解题步骤 8.2.4.1

要将 $2 π$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 8.2.4.2

合并分数。

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解题步骤 8.2.4.2.1

组合 $2 π$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

解题步骤 8.2.4.2.2

在公分母上合并分子。

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

解题步骤 8.2.4.3

化简分子。

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解题步骤 8.2.4.3.1

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$x = \frac{4 π - π}{2}$

解题步骤 8.2.4.3.2

从 $4 π$ 中减去 $π$ 。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 8.2.5

方程 $x = \frac{π}{2}$ 的解。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

解题步骤 9

将 $\sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 9.1

将 $\sin (x) + 1$ 设为等于 $0$ 。

$\sin (x) + 1 = 0$

解题步骤 9.2

求解 $x$ 的 $\sin (x) + 1 = 0$ 。

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解题步骤 9.2.1

从等式两边同时减去 $1$ 。

$\sin (x) = - 1$

解题步骤 9.2.2

取方程两边的逆正弦从而提取正弦内的 $x$ 。

$x = \arcsin (- 1)$

解题步骤 9.2.3

化简右边。

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解题步骤 9.2.3.1

$\arcsin (- 1)$ 的准确值为 $- \frac{π}{2}$ 。

$x = - \frac{π}{2}$

解题步骤 9.2.4

正弦函数在第三和第四象限中为负值。若要求第二个解，可从 $2 π$ 减去这个解，从而求参考角。接着，将该参考角和 $π$ 相加以求第三象限中的解。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

解题步骤 9.2.5

化简表达式以求第二个解。

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解题步骤 9.2.5.1

从 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 中减去 $2 π$ 。

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

解题步骤 9.2.5.2

得出的角 $\frac{3 π}{2}$ 是正角度，比 $2 π$ 小，且与 $2 π + \frac{π}{2} + π$ 共边。

$x = \frac{3 π}{2}$

解题步骤 9.2.6

方程 $x = - \frac{π}{2}$ 的解。

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

解题步骤 10

最终解为使 $2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{2}$

解题步骤 11

计算在 $x = \frac{π}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2 \cos (2 (\frac{π}{2})) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 12

计算二阶导数。

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解题步骤 12.1

化简每一项。

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解题步骤 12.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 12.1.1.1

约去公因数。

$2 \cos (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 12.1.1.2

重写表达式。

$2 \cos (π) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 12.1.2

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$2 (- \cos (0)) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 12.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 (- 1 \cdot 1) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 12.1.4

乘以 $2 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 12.1.4.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 \cdot - 1 - 2 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 12.1.4.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 - 2 \sin (\frac{π}{2})$

解题步骤 12.1.5

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 2 - 2 \cdot 1$

解题步骤 12.1.6

将 $- 2$ 乘以 $1$ 。

$- 2 - 2$

解题步骤 12.2

从 $- 2$ 中减去 $2$ 。

$- 4$

解题步骤 13

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{π}{2}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{π}{2}$ 是一个极大值

解题步骤 14

求 $x = \frac{π}{2}$ 时的 y 值。

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解题步骤 14.1

使用表达式中的 $\frac{π}{2}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})$

解题步骤 14.2

化简结果。

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解题步骤 14.2.1

化简每一项。

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解题步骤 14.2.1.1

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 - \cos^{2} (\frac{π}{2})$

解题步骤 14.2.1.2

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos^{2} (\frac{π}{2})$

解题步骤 14.2.1.3

$\cos (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $0$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 0^{2}$

解题步骤 14.2.1.4

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 0$

解题步骤 14.2.1.5

将 $- 1$ 乘以 $0$ 。

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 0$

解题步骤 14.2.2

将 $2$ 和 $0$ 相加。

$f (\frac{π}{2}) = 2$

解题步骤 14.2.3

最终答案为 $2$ 。

$y = 2$

解题步骤 15

计算在 $x = \frac{3 π}{2}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$2 \cos (2 (\frac{3 π}{2})) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 16

计算二阶导数。

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解题步骤 16.1

化简每一项。

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解题步骤 16.1.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 16.1.1.1

约去公因数。

$2 \cos (2 \frac{3 π}{2}) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 16.1.1.2

重写表达式。

$2 \cos (3 π) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 16.1.2

减去 $2 π$ 的全角，直至角度大于等于 $0$ 且小于 $2 π$ 。

$2 \cos (π) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 16.1.3

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为余弦在第二象限为负。

$2 (- \cos (0)) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 16.1.4

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$2 (- 1 \cdot 1) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 16.1.5

乘以 $2 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 16.1.5.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$2 \cdot - 1 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 16.1.5.2

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

解题步骤 16.1.6

在第一象限中找出三角函数值与之相等的角，并使用这一参考角。令表达式取负值，因为正弦在第四象限为负。

$- 2 - 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

解题步骤 16.1.7

$\sin (\frac{π}{2})$ 的准确值为 $1$ 。

$- 2 - 2 (- 1 \cdot 1)$

解题步骤 16.1.8

乘以 $- 2 (- 1 \cdot 1)$ 。

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解题步骤 16.1.8.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$- 2 - 2 \cdot - 1$

解题步骤 16.1.8.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$- 2 + 2$

解题步骤 16.2

将 $- 2$ 和 $2$ 相加。

$0$

解题步骤 17

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 17.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

解题步骤 17.2

将区间 $(- \infty, - \frac{π}{2})$ 内的任一数字（例如 $- 4$ ）代入一阶导数 $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 17.2.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 4) = \sin (2 (- 4)) + 2 \cos (- 4)$

解题步骤 17.2.2

化简结果。

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解题步骤 17.2.2.1

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解题步骤 17.2.2.1.1

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$f' (- 4) = \sin (- 8) + 2 \cos (- 4)$

解题步骤 17.2.2.1.2

计算 $\sin (- 8)$ 。

$f' (- 4) = - 0.98935824 + 2 \cos (- 4)$

解题步骤 17.2.2.1.3

计算 $\cos (- 4)$ 。

$f' (- 4) = - 0.98935824 + 2 \cdot - 0.65364362$

解题步骤 17.2.2.1.4

将 $2$ 乘以 $- 0.65364362$ 。

$f' (- 4) = - 0.98935824 - 1.30728724$

解题步骤 17.2.2.2

从 $- 0.98935824$ 中减去 $1.30728724$ 。

$f' (- 4) = - 2.29664548$

解题步骤 17.2.2.3

最终答案为 $- 2.29664548$ 。

$- 2.29664548$

解题步骤 17.3

将区间 $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ 内的任一数字（例如 $0$ ）代入一阶导数 $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 17.3.1

使用表达式中的 $0$ 替换变量 $x$ 。

$f' (0) = \sin (2 (0)) + 2 \cos (0)$

解题步骤 17.3.2

化简结果。

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解题步骤 17.3.2.1

化简每一项。

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解题步骤 17.3.2.1.1

将 $2$ 乘以 $0$ 。

$f' (0) = \sin (0) + 2 \cos (0)$

解题步骤 17.3.2.1.2

$\sin (0)$ 的准确值为 $0$ 。

$f' (0) = 0 + 2 \cos (0)$

解题步骤 17.3.2.1.3

$\cos (0)$ 的准确值为 $1$ 。

$f' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

解题步骤 17.3.2.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$f' (0) = 0 + 2$

解题步骤 17.3.2.2

将 $0$ 和 $2$ 相加。

$f' (0) = 2$

解题步骤 17.3.2.3

最终答案为 $2$ 。

$2$

解题步骤 17.4

将区间 $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ 内的任一数字（例如 $3$ ）代入一阶导数 $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 17.4.1

使用表达式中的 $3$ 替换变量 $x$ 。

$f' (3) = \sin (2 (3)) + 2 \cos (3)$

解题步骤 17.4.2

化简结果。

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解题步骤 17.4.2.1

化简每一项。

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解题步骤 17.4.2.1.1

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f' (3) = \sin (6) + 2 \cos (3)$

解题步骤 17.4.2.1.2

计算 $\sin (6)$ 。

$f' (3) = - 0.27941549 + 2 \cos (3)$

解题步骤 17.4.2.1.3

计算 $\cos (3)$ 。

$f' (3) = - 0.27941549 + 2 \cdot - 0.98999249$

解题步骤 17.4.2.1.4

将 $2$ 乘以 $- 0.98999249$ 。

$f' (3) = - 0.27941549 - 1.97998499$

解题步骤 17.4.2.2

从 $- 0.27941549$ 中减去 $1.97998499$ 。

$f' (3) = - 2.25940049$

解题步骤 17.4.2.3

最终答案为 $- 2.25940049$ 。

$- 2.25940049$

解题步骤 17.5

将区间 $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ 内的任一数字（例如 $7$ ）代入一阶导数 $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 17.5.1

使用表达式中的 $7$ 替换变量 $x$ 。

$f' (7) = \sin (2 (7)) + 2 \cos (7)$

解题步骤 17.5.2

化简结果。

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解题步骤 17.5.2.1

化简每一项。

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解题步骤 17.5.2.1.1

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$f' (7) = \sin (14) + 2 \cos (7)$

解题步骤 17.5.2.1.2

计算 $\sin (14)$ 。

$f' (7) = 0.99060735 + 2 \cos (7)$

解题步骤 17.5.2.1.3

计算 $\cos (7)$ 。

$f' (7) = 0.99060735 + 2 \cdot 0.75390225$

解题步骤 17.5.2.1.4

将 $2$ 乘以 $0.75390225$ 。

$f' (7) = 0.99060735 + 1.5078045$

解题步骤 17.5.2.2

将 $0.99060735$ 和 $1.5078045$ 相加。

$f' (7) = 2.49841186$

解题步骤 17.5.2.3

最终答案为 $2.49841186$ 。

$2.49841186$

解题步骤 17.6

由于一阶导数在 $x = - \frac{π}{2}$ 周围从负号变为正号，因此 $x = - \frac{π}{2}$ 是极小值。

$x = - \frac{π}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 17.7

由于一阶导数在 $x = \frac{π}{2}$ 周围从正号变为负号，因此 $x = \frac{π}{2}$ 是极大值。

$x = \frac{π}{2}$ 是一个极大值

解题步骤 17.8

由于一阶导数在 $x = \frac{3 π}{2}$ 周围从负号变为正号，因此 $x = \frac{3 π}{2}$ 是极小值。

$x = \frac{3 π}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 17.9

这些是 $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ 的局部极值。

$x = - \frac{π}{2}$ 是一个极小值

$x = \frac{π}{2}$ 是一个极大值

$x = \frac{3 π}{2}$ 是一个极小值

$x = - \frac{π}{2}$ 是一个极小值

$x = \frac{π}{2}$ 是一个极大值

$x = \frac{3 π}{2}$ 是一个极小值

解题步骤 18

微积分学 示例

微积分学示例