微积分学示例

$f (x) = x^{3} - 16 x^{2} + 64 x$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

求微分。

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解题步骤 1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 16 x^{2} + 64 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [64 x]$ 。

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [64 x]$

解题步骤 1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [64 x]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$3 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [64 x]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$3 x^{2} - 16 (2 x) + \frac{d}{d x} [64 x]$

解题步骤 1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 16$ 。

$3 x^{2} - 32 x + \frac{d}{d x} [64 x]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [64 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $64$ 对于 $x$ 是常数，所以 $64 x$ 对 $x$ 的导数是 $64 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 x^{2} - 32 x + 64 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 x^{2} - 32 x + 64 \cdot 1$

解题步骤 1.3.3

将 $64$ 乘以 $1$ 。

$3 x^{2} - 32 x + 64$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $3 x^{2} - 32 x + 64$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 32 x] + \frac{d}{d x} [64]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (64)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (64)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (64)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 32 x) + \frac{d}{d x} (64)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 32 x]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 32$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 32 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 32 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f'' (x) = 6 x - 32 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (64)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 32 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (64)$

解题步骤 2.3.3

将 $- 32$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = 6 x - 32 + \frac{d}{d x} (64)$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $64$ 对于 $x$ 是常数，所以 $64$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 6 x - 32 + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $6 x - 32$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 6 x - 32$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$3 x^{2} - 32 x + 64 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

求微分。

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解题步骤 4.1.1.1

根据加法法则， $x^{3} - 16 x^{2} + 64 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x^{2}] + \frac{d}{d x} [64 x]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x^{2}) + \frac{d}{d x} (64 x)$

解题步骤 4.1.1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 16 x^{2}) + \frac{d}{d x} (64 x)$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [- 16 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $- 16$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 16 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 16 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (64 x)$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 16 (2 x) + \frac{d}{d x} (64 x)$

解题步骤 4.1.2.3

将 $2$ 乘以 $- 16$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 32 x + \frac{d}{d x} (64 x)$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [64 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $64$ 对于 $x$ 是常数，所以 $64 x$ 对 $x$ 的导数是 $64 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 32 x + 64 \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 32 x + 64 \cdot 1$

解题步骤 4.1.3.3

将 $64$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 x^{2} - 32 x + 64$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 x^{2} - 32 x + 64$ 。

$3 x^{2} - 32 x + 64$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 x^{2} - 32 x + 64 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 x^{2} - 32 x + 64 = 0$

解题步骤 5.2

分组因式分解。

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解题步骤 5.2.1

对于 $a x^{2} + b x + c$ 形式的多项式，将其中间项重写为两项之和，这两项的乘积为 $a \cdot c = 3 \cdot 64 = 192$ 并且它们的和为 $b = - 32$ 。

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解题步骤 5.2.1.1

从 $- 32 x$ 中分解出因数 $- 32$ 。

$3 x^{2} - 32 x + 64 = 0$

解题步骤 5.2.1.2

把 $- 32$ 重写为 $- 8$ 加 $- 24$

$3 x^{2} + (- 8 - 24) x + 64 = 0$

解题步骤 5.2.1.3

运用分配律。

$3 x^{2} - 8 x - 24 x + 64 = 0$

解题步骤 5.2.2

从每组中因式分解出最大公因数。

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解题步骤 5.2.2.1

将首两项和最后两项分成两组。

$(3 x^{2} - 8 x) - 24 x + 64 = 0$

解题步骤 5.2.2.2

从每组中因式分解出最大公因数 (GCF)。

$x (3 x - 8) - 8 (3 x - 8) = 0$

解题步骤 5.2.3

通过因式分解出最大公因数 $3 x - 8$ 来因式分解多项式。

$(3 x - 8) (x - 8) = 0$

解题步骤 5.3

如果等式左侧的任一因数等于 $0$ ，则整个表达式将等于 $0$ 。

$3 x - 8 = 0$

$x - 8 = 0$

解题步骤 5.4

将 $3 x - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.4.1

将 $3 x - 8$ 设为等于 $0$ 。

$3 x - 8 = 0$

解题步骤 5.4.2

求解 $x$ 的 $3 x - 8 = 0$ 。

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解题步骤 5.4.2.1

在等式两边都加上 $8$ 。

$3 x = 8$

解题步骤 5.4.2.2

将 $3 x = 8$ 中的每一项除以 $3$ 并化简。

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解题步骤 5.4.2.2.1

将 $3 x = 8$ 中的每一项都除以 $3$ 。

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

解题步骤 5.4.2.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.2.2.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.2.2.1.1

约去公因数。

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

解题步骤 5.4.2.2.2.1.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$x = \frac{8}{3}$

解题步骤 5.5

将 $x - 8$ 设为等于 $0$ 并求解 $x$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $x - 8$ 设为等于 $0$ 。

$x - 8 = 0$

解题步骤 5.5.2

在等式两边都加上 $8$ 。

$x = 8$

解题步骤 5.6

最终解为使 $(3 x - 8) (x - 8) = 0$ 成立的所有值。

$x = \frac{8}{3}, 8$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = \frac{8}{3}, 8$

解题步骤 8

计算在 $x = \frac{8}{3}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (\frac{8}{3}) - 32$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简每一项。

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解题步骤 9.1.1

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.1.1

从 $6$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 (2) \frac{8}{3} - 32$

解题步骤 9.1.1.2

约去公因数。

$3 \cdot 2 \frac{8}{3} - 32$

解题步骤 9.1.1.3

重写表达式。

$2 \cdot 8 - 32$

解题步骤 9.1.2

将 $2$ 乘以 $8$ 。

$16 - 32$

解题步骤 9.2

从 $16$ 中减去 $32$ 。

$- 16$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = \frac{8}{3}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = \frac{8}{3}$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = \frac{8}{3}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $\frac{8}{3}$ 替换变量 $x$ 。

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{3} - 16 {(\frac{8}{3})}^{2} + 64 (\frac{8}{3})$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $\frac{8}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{3}}{3^{3}} - 16 {(\frac{8}{3})}^{2} + 64 (\frac{8}{3})$

解题步骤 11.2.1.2

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{3^{3}} - 16 {(\frac{8}{3})}^{2} + 64 (\frac{8}{3})$

解题步骤 11.2.1.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 16 {(\frac{8}{3})}^{2} + 64 (\frac{8}{3})$

解题步骤 11.2.1.4

对 $\frac{8}{3}$ 运用乘积法则。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 16 \frac{8^{2}}{3^{2}} + 64 (\frac{8}{3})$

解题步骤 11.2.1.5

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 16 \frac{64}{3^{2}} + 64 (\frac{8}{3})$

解题步骤 11.2.1.6

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 16 (\frac{64}{9}) + 64 (\frac{8}{3})$

解题步骤 11.2.1.7

乘以 $- 16 (\frac{64}{9})$ 。

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解题步骤 11.2.1.7.1

组合 $- 16$ 和 $\frac{64}{9}$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 16 \cdot 64}{9} + 64 (\frac{8}{3})$

解题步骤 11.2.1.7.2

将 $- 16$ 乘以 $64$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 1024}{9} + 64 (\frac{8}{3})$

解题步骤 11.2.1.8

将负号移到分数的前面。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024}{9} + 64 (\frac{8}{3})$

解题步骤 11.2.1.9

乘以 $64 (\frac{8}{3})$ 。

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解题步骤 11.2.1.9.1

组合 $64$ 和 $\frac{8}{3}$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024}{9} + \frac{64 \cdot 8}{3}$

解题步骤 11.2.1.9.2

将 $64$ 乘以 $8$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024}{9} + \frac{512}{3}$

解题步骤 11.2.2

求公分母。

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解题步骤 11.2.2.1

将 $\frac{1024}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - (\frac{1024}{9} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{512}{3}$

解题步骤 11.2.2.2

将 $\frac{1024}{9}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{512}{3}$

解题步骤 11.2.2.3

将 $\frac{512}{3}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{512}{3} \cdot \frac{9}{9}$

解题步骤 11.2.2.4

将 $\frac{512}{3}$ 乘以 $\frac{9}{9}$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{512 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

解题步骤 11.2.2.5

重新排序 $9 \cdot 3$ 的因式。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{512 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

解题步骤 11.2.2.6

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024 \cdot 3}{27} + \frac{512 \cdot 9}{3 \cdot 9}$

解题步骤 11.2.2.7

将 $3$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{1024 \cdot 3}{27} + \frac{512 \cdot 9}{27}$

解题步骤 11.2.3

在公分母上合并分子。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 1024 \cdot 3 + 512 \cdot 9}{27}$

解题步骤 11.2.4

化简每一项。

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解题步骤 11.2.4.1

将 $- 1024$ 乘以 $3$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 3072 + 512 \cdot 9}{27}$

解题步骤 11.2.4.2

将 $512$ 乘以 $9$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 3072 + 4608}{27}$

解题步骤 11.2.5

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 11.2.5.1

从 $512$ 中减去 $3072$ 。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 2560 + 4608}{27}$

解题步骤 11.2.5.2

将 $- 2560$ 和 $4608$ 相加。

$f (\frac{8}{3}) = \frac{2048}{27}$

解题步骤 11.2.6

最终答案为 $\frac{2048}{27}$ 。

$y = \frac{2048}{27}$

解题步骤 12

计算在 $x = 8$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$6 (8) - 32$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

将 $6$ 乘以 $8$ 。

$48 - 32$

解题步骤 13.2

从 $48$ 中减去 $32$ 。

$16$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 8$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 8$ 是一个极小值

解题步骤 15

求 $x = 8$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $8$ 替换变量 $x$ 。

$f (8) = {(8)}^{3} - 16 {(8)}^{2} + 64 (8)$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

对 $8$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (8) = 512 - 16 {(8)}^{2} + 64 (8)$

解题步骤 15.2.1.2

对 $8$ 进行 $2$ 次方运算。

$f (8) = 512 - 16 \cdot 64 + 64 (8)$

解题步骤 15.2.1.3

将 $- 16$ 乘以 $64$ 。

$f (8) = 512 - 1024 + 64 (8)$

解题步骤 15.2.1.4

将 $64$ 乘以 $8$ 。

$f (8) = 512 - 1024 + 512$

解题步骤 15.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 15.2.2.1

从 $512$ 中减去 $1024$ 。

$f (8) = - 512 + 512$

解题步骤 15.2.2.2

将 $- 512$ 和 $512$ 相加。

$f (8) = 0$

解题步骤 15.2.3

最终答案为 $0$ 。

$y = 0$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = x^{3} - 16 x^{2} + 64 x$ 的局部极值。

$(\frac{8}{3}, \frac{2048}{27})$ 是一个局部最大值

$(8, 0)$ 是一个局部最小值

解题步骤 17

微积分学 示例

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