微积分学示例

$f (x) = x^{- 4} \ln (x)$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{- 4}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$x^{- 4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

解题步骤 1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$x^{- 4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

解题步骤 1.3

合并分数。

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解题步骤 1.3.1

组合 $x^{- 4}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x^{- 4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

解题步骤 1.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 4}$ 移动到分母。

$\frac{1}{x \cdot x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

解题步骤 1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.4.1

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 1.4.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{x^{1} x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

解题步骤 1.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{x^{1 + 4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

解题步骤 1.4.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

解题步骤 1.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 4$ 。

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) (- 4 x^{- 5})$

解题步骤 1.6

化简。

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解题步骤 1.6.1

重新排序项。

$- 4 x^{- 5} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 1.6.2

化简每一项。

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解题步骤 1.6.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 4 \frac{1}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 1.6.2.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{x^{5}}$ 。

$\frac{- 4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 1.6.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 1.6.2.4

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{4}{x^{5}}$ 。

$- \frac{\ln (x) \cdot 4}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 1.6.2.5

将 $4$ 移到 $\ln (x)$ 的左侧。

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{5}}]$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{\ln (x)}{x^{5}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 2.2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = \ln (x)$ 且 $g (x) = x^{5}$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} (\ln (x)) - \ln (x) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 2.2.3

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} (\frac{1}{x}) - \ln (x) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} (\frac{1}{x}) - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 2.2.5

组合 $x^{5}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x^{5}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 2.2.6

约去 $x^{5}$ 和 $x$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.6.1

从 $x^{5}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 2.2.6.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.6.2.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 2.2.6.2.2

从 $x^{1}$ 中分解出因数 $x$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 2.2.6.2.3

约去公因数。

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 2.2.6.2.4

重写表达式。

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x^{4}}{1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 2.2.6.2.5

用 $x^{4}$ 除以 $1$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 2.2.7

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 2.2.8

将 ${(x^{5})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.8.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{5 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 2.2.8.2

将 $5$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 2.2.9

从 $x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.2.9.1

乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} \cdot 1 - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 2.2.9.2

从 $- 5 \ln (x) x^{4}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (x))}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 2.2.9.3

从 $x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (x))$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 2.2.10

约去公因数。

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解题步骤 2.2.10.1

从 $x^{10}$ 中分解出因数 $x^{4}$ 。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{4} x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 2.2.10.2

约去公因数。

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{4} x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 2.2.10.3

重写表达式。

$f'' (x) = - 4 \frac{1 - 5 \ln (x)}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 2.2.11

组合 $- 4$ 和 $\frac{1 - 5 \ln (x)}{x^{6}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 2.2.12

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

将 $\frac{1}{x^{5}}$ 重写为 ${(x^{5})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} ({(x^{5})}^{- 1})$

解题步骤 2.3.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{5}$ 。

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解题步骤 2.3.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{5}$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{5})$

解题步骤 2.3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}$

解题步骤 2.3.2.3

使用 $x^{5}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}$

解题步骤 2.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 5$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})$

解题步骤 2.3.4

将 ${(x^{5})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})$

解题步骤 2.3.4.2

将 $5$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - x^{- 10} (5 x^{4})$

解题步骤 2.3.5

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{- 10} x^{4}$

解题步骤 2.3.6

通过指数相加将 $x^{- 10}$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 2.3.6.1

移动 $x^{4}$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 (x^{4} x^{- 10})$

解题步骤 2.3.6.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{4 - 10}$

解题步骤 2.3.6.3

从 $4$ 中减去 $10$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{- 6}$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

解题步骤 2.4.2

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (- 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

解题步骤 2.4.3

合并项。

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解题步骤 2.4.3.1

将 $4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 + 4 (- 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

解题步骤 2.4.3.2

将 $- 5$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

解题步骤 2.4.3.3

组合 $- 5$ 和 $\frac{1}{x^{6}}$ 。

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} + \frac{- 5}{x^{6}}$

解题步骤 2.4.3.4

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} - \frac{5}{x^{6}}$

解题步骤 2.4.3.5

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{- (4 - 20 \ln (x)) - 5}{x^{6}}$

解题步骤 2.4.4

重新排序项。

$f'' (x) = \frac{- 5 - (4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

解题步骤 2.4.5

化简分子。

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解题步骤 2.4.5.1

从 $- 5 - (4 - 20 \ln (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

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解题步骤 2.4.5.1.1

将 $- 5$ 重写为 $- 1 (5)$ 。

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 - (4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

解题步骤 2.4.5.1.2

从 $- 1 (5) - (4 - 20 \ln (x))$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{- 1 (5 + 4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

解题步骤 2.4.5.1.3

将 $- 1 (5 + 4 - 20 \ln (x))$ 重写为 $- (5 + 4 - 20 \ln (x))$ 。

$f'' (x) = \frac{- (5 + 4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

解题步骤 2.4.5.2

将 $5$ 和 $4$ 相加。

$f'' (x) = \frac{- (9 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

解题步骤 2.4.6

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{9 - 20 \ln (x)}{x^{6}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{- 4}$ 且 $g (x) = \ln (x)$ 。

$x^{- 4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

解题步骤 4.1.2

$\ln (x)$ 对 $x$ 的导数为 $\frac{1}{x}$ 。

$x^{- 4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

解题步骤 4.1.3

合并分数。

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解题步骤 4.1.3.1

组合 $x^{- 4}$ 和 $\frac{1}{x}$ 。

$\frac{x^{- 4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

解题步骤 4.1.3.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- 4}$ 移动到分母。

$\frac{1}{x \cdot x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

解题步骤 4.1.4

通过指数相加将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 4.1.4.1

将 $x$ 乘以 $x^{4}$ 。

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解题步骤 4.1.4.1.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\frac{1}{x^{1} x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

解题步骤 4.1.4.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{x^{1 + 4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

解题步骤 4.1.4.2

将 $1$ 和 $4$ 相加。

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

解题步骤 4.1.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = - 4$ 。

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) (- 4 x^{- 5})$

解题步骤 4.1.6

化简。

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解题步骤 4.1.6.1

重新排序项。

$- 4 x^{- 5} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 4.1.6.2

化简每一项。

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解题步骤 4.1.6.2.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$- 4 \frac{1}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 4.1.6.2.2

组合 $- 4$ 和 $\frac{1}{x^{5}}$ 。

$\frac{- 4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 4.1.6.2.3

将负号移到分数的前面。

$- \frac{4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 4.1.6.2.4

组合 $\ln (x)$ 和 $\frac{4}{x^{5}}$ 。

$- \frac{\ln (x) \cdot 4}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 4.1.6.2.5

将 $4$ 移到 $\ln (x)$ 的左侧。

$f' (x) = - \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$ 。

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $\frac{1}{x^{5}}$ 。

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} = - \frac{1}{x^{5}}$

解题步骤 5.3

因为方程两边的表达式具有相同的分母，所以分子必须相等。

$- 4 \ln (x) = - 1$

解题步骤 5.4

将 $- 4 \ln (x) = - 1$ 中的每一项除以 $- 4$ 并化简。

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解题步骤 5.4.1

将 $- 4 \ln (x) = - 1$ 中的每一项都除以 $- 4$ 。

$\frac{- 4 \ln (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $- 4$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

约去公因数。

$\frac{- 4 \ln (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

解题步骤 5.4.2.1.2

用 $\ln (x)$ 除以 $1$ 。

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 4}$

解题步骤 5.4.3

化简右边。

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解题步骤 5.4.3.1

将两个负数相除得到一个正数。

$\ln (x) = \frac{1}{4}$

解题步骤 5.5

要求解 $x$ ，请利用对数的性质重写方程。

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 5.6

使用对数的定义将 $\ln (x) = \frac{1}{4}$ 重写成指数形式。如果 $x$ 和 $b$ 是正实数且 $b \neq 1$ ，则 $\log_{b} (x) = y$ 等价于 $b^{y} = x$ 。

$e^{\frac{1}{4}} = x$

解题步骤 5.7

将方程重写为 $x = e^{\frac{1}{4}}$ 。

$x = e^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

将 $\frac{4 \ln (x)}{x^{5}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x^{5} = 0$

解题步骤 6.2

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.2.1

取方程两边的指定根来消去方程左边的指数。

$x = \sqrt[5]{0}$

解题步骤 6.2.2

化简 $\sqrt[5]{0}$ 。

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解题步骤 6.2.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{5}$ 。

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

解题步骤 6.2.2.2

假设各项均为实数，将其从根式下提取出来。

$x = 0$

解题步骤 6.3

将 $\ln (x)$ 中的参数设为小于等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$x \leq 0$

解题步骤 6.4

方程在分母等于 $0$ 时无定义，平方根的自变量小于 $0$ 或者对数的自变量小于或等于 $0$ 。

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = e^{\frac{1}{4}}$

解题步骤 8

计算在 $x = e^{\frac{1}{4}}$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$- \frac{9 - 20 \ln (e^{\frac{1}{4}})}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

化简分子。

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解题步骤 9.1.1

使用对数规则把 $\frac{1}{4}$ 移到指数外部。

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4} \ln (e))}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

解题步骤 9.1.2

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4} \cdot 1)}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

解题步骤 9.1.3

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4})}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

解题步骤 9.1.4

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 9.1.4.1

从 $- 20$ 中分解出因数 $4$ 。

$- \frac{9 + 4 (- 5) \frac{1}{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

解题步骤 9.1.4.2

约去公因数。

$- \frac{9 + 4 \cdot - 5 \frac{1}{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

解题步骤 9.1.4.3

重写表达式。

$- \frac{9 - 5}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

解题步骤 9.1.5

从 $9$ 中减去 $5$ 。

$- \frac{4}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

解题步骤 9.2

将 ${(e^{\frac{1}{4}})}^{6}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 9.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{4} \cdot 6}}$

解题步骤 9.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 9.2.2.1

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 6}}$

解题步骤 9.2.2.2

从 $6$ 中分解出因数 $2$ 。

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3)}}$

解题步骤 9.2.2.3

约去公因数。

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3)}}$

解题步骤 9.2.2.4

重写表达式。

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 3}}$

解题步骤 9.2.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $3$ 。

$- \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = e^{\frac{1}{4}}$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = e^{\frac{1}{4}}$ 是一个极大值

解题步骤 11

求 $x = e^{\frac{1}{4}}$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $e^{\frac{1}{4}}$ 替换变量 $x$ 。

$f (e^{\frac{1}{4}}) = {(e^{\frac{1}{4}})}^{- 4} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

将 ${(e^{\frac{1}{4}})}^{- 4}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 11.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot - 4} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

解题步骤 11.2.1.2

约去 $4$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.2.1

从 $- 4$ 中分解出因数 $4$ 。

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

解题步骤 11.2.1.2.2

约去公因数。

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

解题步骤 11.2.1.2.3

重写表达式。

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{- 1} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

解题步骤 11.2.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{\frac{1}{4}})$

解题步骤 11.2.3

使用对数规则把 $\frac{1}{4}$ 移到指数外部。

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot (\frac{1}{4} \cdot \ln (e))$

解题步骤 11.2.4

$e$ 的自然对数为 $1$ 。

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)$

解题步骤 11.2.5

将 $\frac{1}{4}$ 乘以 $1$ 。

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{4}$

解题步骤 11.2.6

将 $\frac{1}{e}$ 乘以 $\frac{1}{4}$ 。

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e \cdot 4}$

解题步骤 11.2.7

将 $4$ 移到 $e$ 的左侧。

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{4 e}$

解题步骤 11.2.8

最终答案为 $\frac{1}{4 e}$ 。

$y = \frac{1}{4 e}$

解题步骤 12

这些是 $f (x) = x^{- 4} \ln (x)$ 的局部极值。

$(e^{\frac{1}{4}}, \frac{1}{4 e})$ 是一个局部最大值

解题步骤 13

微积分学 示例

微积分学示例