微积分学示例

$f (x) = 5 x^{3} - 60 x + 5$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $5 x^{3} - 60 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 60$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 60 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$15 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$15 x^{2} - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.3.3

将 $- 60$ 乘以 $1$ 。

$15 x^{2} - 60 + \frac{d}{d x} [5]$

解题步骤 1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 1.4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$15 x^{2} - 60 + 0$

解题步骤 1.4.2

将 $15 x^{2} - 60$ 和 $0$ 相加。

$15 x^{2} - 60$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $15 x^{2} - 60$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 60)$

解题步骤 2.2.3

将 $2$ 乘以 $15$ 。

$f'' (x) = 30 x + \frac{d}{d x} (- 60)$

解题步骤 2.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.3.1

因为 $- 60$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 60$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 30 x + 0$

解题步骤 2.3.2

将 $30 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 30 x$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$15 x^{2} - 60 = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $5 x^{3} - 60 x + 5$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [5]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (5)$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (5)$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (5)$

解题步骤 4.1.2.3

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$f' (x) = 15 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (5)$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 60$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 60 x$ 对 $x$ 的导数是 $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 15 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5)$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 15 x^{2} - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5)$

解题步骤 4.1.3.3

将 $- 60$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 15 x^{2} - 60 + \frac{d}{d x} (5)$

解题步骤 4.1.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.1.4.1

因为 $5$ 对于 $x$ 是常数，所以 $5$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = 15 x^{2} - 60 + 0$

解题步骤 4.1.4.2

将 $15 x^{2} - 60$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = 15 x^{2} - 60$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $15 x^{2} - 60$ 。

$15 x^{2} - 60$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $15 x^{2} - 60 = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$15 x^{2} - 60 = 0$

解题步骤 5.2

在等式两边都加上 $60$ 。

$15 x^{2} = 60$

解题步骤 5.3

将 $15 x^{2} = 60$ 中的每一项除以 $15$ 并化简。

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解题步骤 5.3.1

将 $15 x^{2} = 60$ 中的每一项都除以 $15$ 。

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{60}{15}$

解题步骤 5.3.2

化简左边。

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解题步骤 5.3.2.1

约去 $15$ 的公因数。

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解题步骤 5.3.2.1.1

约去公因数。

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{60}{15}$

解题步骤 5.3.2.1.2

用 $x^{2}$ 除以 $1$ 。

$x^{2} = \frac{60}{15}$

解题步骤 5.3.3

化简右边。

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解题步骤 5.3.3.1

用 $60$ 除以 $15$ 。

$x^{2} = 4$

解题步骤 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

解题步骤 5.5

化简 $\pm \sqrt{4}$ 。

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解题步骤 5.5.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

解题步骤 5.5.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 2$

解题步骤 5.6

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.6.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 2$

解题步骤 5.6.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 2$

解题步骤 5.6.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 2, - 2$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

表达式的定义域是除使表达式无定义的值外的所有实数。在本例中，不存在使表达式无定义的实数。

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 2, - 2$

解题步骤 8

计算在 $x = 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$30 (2)$

解题步骤 9

将 $30$ 乘以 $2$ 。

$60$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 2$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 2$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 2$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $2$ 替换变量 $x$ 。

$f (2) = 5 {(2)}^{3} - 60 \cdot 2 + 5$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (2) = 5 \cdot 8 - 60 \cdot 2 + 5$

解题步骤 11.2.1.2

将 $5$ 乘以 $8$ 。

$f (2) = 40 - 60 \cdot 2 + 5$

解题步骤 11.2.1.3

将 $- 60$ 乘以 $2$ 。

$f (2) = 40 - 120 + 5$

解题步骤 11.2.2

通过相加和相减进行化简。

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解题步骤 11.2.2.1

从 $40$ 中减去 $120$ 。

$f (2) = - 80 + 5$

解题步骤 11.2.2.2

将 $- 80$ 和 $5$ 相加。

$f (2) = - 75$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $- 75$ 。

$y = - 75$

解题步骤 12

计算在 $x = - 2$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$30 (- 2)$

解题步骤 13

将 $30$ 乘以 $- 2$ 。

$- 60$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 2$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 2$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = - 2$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- 2$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 2) = 5 {(- 2)}^{3} - 60 \cdot - 2 + 5$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

对 $- 2$ 进行 $3$ 次方运算。

$f (- 2) = 5 \cdot - 8 - 60 \cdot - 2 + 5$

解题步骤 15.2.1.2

将 $5$ 乘以 $- 8$ 。

$f (- 2) = - 40 - 60 \cdot - 2 + 5$

解题步骤 15.2.1.3

将 $- 60$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 2) = - 40 + 120 + 5$

解题步骤 15.2.2

通过加上各数进行化简。

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解题步骤 15.2.2.1

将 $- 40$ 和 $120$ 相加。

$f (- 2) = 80 + 5$

解题步骤 15.2.2.2

将 $80$ 和 $5$ 相加。

$f (- 2) = 85$

解题步骤 15.2.3

最终答案为 $85$ 。

$y = 85$

解题步骤 16

这些是 $f (x) = 5 x^{3} - 60 x + 5$ 的局部极值。

$(2, - 75)$ 是一个局部最小值

$(- 2, 85)$ 是一个局部最大值

解题步骤 17

微积分学 示例

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