微积分学示例

$f (x) = 3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 1

求函数的一阶导数。

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解题步骤 1.1

根据加法法则， $3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.2.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$3 + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ 。

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解题步骤 1.3.1

因为 $- 36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 36 x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$3 - 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 1.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 1.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.3.5

在公分母上合并分子。

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 1.3.6

化简分子。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 1.3.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 1.3.7

将负号移到分数的前面。

$3 - 36 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 1.3.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$3 - 36 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 1.3.9

组合 $- 36$ 和 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$3 + \frac{- 36 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 1.3.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$3 + \frac{- 36}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.3.11

从 $- 36$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.3.12

约去公因数。

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解题步骤 1.3.12.1

从 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 1.3.12.2

约去公因数。

$3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.3.12.3

重写表达式。

$3 + \frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 1.3.13

将负号移到分数的前面。

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2

求函数的二阶导数。

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解题步骤 2.1

求微分。

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解题步骤 2.1.1

根据加法法则， $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3) + \frac{d}{d x} (- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.1.2

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}})$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 12 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ 。

$f'' (x) = 0 - 12 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 2.2.2

将 $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ 重写为 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ 。

$f'' (x) = 0 - 12 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

解题步骤 2.2.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ 。

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解题步骤 2.2.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$f'' (x) = 0 - 12 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

解题步骤 2.2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f'' (x) = 0 - 12 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.2.3.3

使用 $x^{\frac{2}{3}}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = 0 - 12 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

解题步骤 2.2.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{2}{3}$ 。

$f'' (x) = 0 - 12 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 2.2.5

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.5.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 2.2.5.2

乘以 $\frac{2}{3} \cdot - 2$ 。

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解题步骤 2.2.5.2.1

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $- 2$ 。

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 2.2.5.2.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 2.2.5.3

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

解题步骤 2.2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

解题步骤 2.2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

解题步骤 2.2.8

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

解题步骤 2.2.9

化简分子。

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解题步骤 2.2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

解题步骤 2.2.9.2

从 $2$ 中减去 $3$ 。

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

解题步骤 2.2.10

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

解题步骤 2.2.11

组合 $\frac{2}{3}$ 和 $x^{- \frac{1}{3}}$ 。

$f'' (x) = 0 - 12 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

解题步骤 2.2.12

组合 $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ 和 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

解题步骤 2.2.13

通过指数相加将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 乘以 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

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解题步骤 2.2.13.1

移动 $x^{- \frac{4}{3}}$ 。

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

解题步骤 2.2.13.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

解题步骤 2.2.13.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

解题步骤 2.2.13.4

从 $- 4$ 中减去 $1$ 。

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

解题步骤 2.2.13.5

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

解题步骤 2.2.14

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{5}{3}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = 0 - 12 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

解题步骤 2.2.15

将 $- 1$ 乘以 $- 12$ 。

$f'' (x) = 0 + 12 (\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

解题步骤 2.2.16

组合 $12$ 和 $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{12 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.2.17

将 $12$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{24}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.2.18

从 $24$ 中分解出因数 $3$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.2.19

约去公因数。

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解题步骤 2.2.19.1

从 $3 x^{\frac{5}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 8}{3 (x^{\frac{5}{3}})}$

解题步骤 2.2.19.2

约去公因数。

$f'' (x) = 0 + \frac{3 \cdot 8}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.2.19.3

重写表达式。

$f'' (x) = 0 + \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 2.3

将 $0$ 和 $\frac{8}{x^{\frac{5}{3}}}$ 相加。

$f'' (x) = \frac{8}{x^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 3

要求函数的极大值与极小值，请将导数设为等于 $0$ 并求解。

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 4

求一阶导数。

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解题步骤 4.1

求一阶导数。

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解题步骤 4.1.1

根据加法法则， $3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 4.1.2

计算 $\frac{d}{d x} [3 x]$ 。

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解题步骤 4.1.2.1

因为 $3$ 对于 $x$ 是常数，所以 $3 x$ 对 $x$ 的导数是 $3 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 4.1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 4.1.2.3

将 $3$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 3 + \frac{d}{d x} (- 36 x^{\frac{1}{3}})$

解题步骤 4.1.3

计算 $\frac{d}{d x} [- 36 x^{\frac{1}{3}}]$ 。

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解题步骤 4.1.3.1

因为 $- 36$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 36 x^{\frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 36 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ 。

$f' (x) = 3 - 36 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 4.1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{3}$ 。

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

解题步骤 4.1.3.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

解题步骤 4.1.3.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 4.1.3.5

在公分母上合并分子。

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

解题步骤 4.1.3.6

化简分子。

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解题步骤 4.1.3.6.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

解题步骤 4.1.3.6.2

从 $1$ 中减去 $3$ 。

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

解题步骤 4.1.3.7

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 3 - 36 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

解题步骤 4.1.3.8

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$f' (x) = 3 - 36 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 4.1.3.9

组合 $- 36$ 和 $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ 。

$f' (x) = 3 + \frac{- 36 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

解题步骤 4.1.3.10

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$f' (x) = 3 + \frac{- 36}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.3.11

从 $- 36$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = 3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.3.12

约去公因数。

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解题步骤 4.1.3.12.1

从 $3 x^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $3$ 。

$f' (x) = 3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

解题步骤 4.1.3.12.2

约去公因数。

$f' (x) = 3 + \frac{3 \cdot - 12}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.3.12.3

重写表达式。

$f' (x) = 3 + \frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.1.3.13

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = 3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 4.2

$f (x)$ 对 $x$ 的一阶导数是 $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 5

将一阶导数设为等于 $0$ ，然后求解方程 $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ 。

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解题步骤 5.1

将一阶导数设为等于 $0$ 。

$3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

解题步骤 5.2

从等式两边同时减去 $3$ 。

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$

解题步骤 5.3

求方程中各项的最小公分母 (LCD)。

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解题步骤 5.3.1

求一列数值的最小公分母 (LCD) 等同于求这些数值的分母的最小公倍数 (LCM)。

$x^{\frac{2}{3}}, 1$

解题步骤 5.3.2

1 和任何表达式的最小公倍数就是该表达式。

$x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.4

将 $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$ 中的每一项乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 以消去分数。

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解题步骤 5.4.1

将 $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} = - 3$ 中的每一项乘以 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

$- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.4.2

化简左边。

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解题步骤 5.4.2.1

约去 $x^{\frac{2}{3}}$ 的公因数。

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解题步骤 5.4.2.1.1

将 $- \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ 中前置负号移到分子中。

$\frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.4.2.1.2

约去公因数。

$\frac{- 12}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.4.2.1.3

重写表达式。

$- 12 = - 3 x^{\frac{2}{3}}$

解题步骤 5.5

求解方程。

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解题步骤 5.5.1

将方程重写为 $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ 。

$- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$

解题步骤 5.5.2

将 $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ 中的每一项除以 $- 3$ 并化简。

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解题步骤 5.5.2.1

将 $- 3 x^{\frac{2}{3}} = - 12$ 中的每一项都除以 $- 3$ 。

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

解题步骤 5.5.2.2

化简左边。

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解题步骤 5.5.2.2.1

约去公因数。

$\frac{- 3 x^{\frac{2}{3}}}{- 3} = \frac{- 12}{- 3}$

解题步骤 5.5.2.2.2

用 $x^{\frac{2}{3}}$ 除以 $1$ 。

$x^{\frac{2}{3}} = \frac{- 12}{- 3}$

解题步骤 5.5.2.3

化简右边。

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解题步骤 5.5.2.3.1

用 $- 12$ 除以 $- 3$ 。

$x^{\frac{2}{3}} = 4$

解题步骤 5.5.3

将方程两边同时进行 $\frac{3}{2}$ 次方运算以消去左边的分数指数。

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 5.5.4

化简指数。

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解题步骤 5.5.4.1

化简左边。

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解题步骤 5.5.4.1.1

化简 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 5.5.4.1.1.1

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 5.5.4.1.1.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 5.5.4.1.1.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.4.1.1.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 5.5.4.1.1.1.2.2

重写表达式。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 5.5.4.1.1.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.4.1.1.1.3.1

约去公因数。

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 5.5.4.1.1.1.3.2

重写表达式。

$x^{1} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 5.5.4.1.1.2

化简。

$x = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 5.5.4.2

化简右边。

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解题步骤 5.5.4.2.1

化简 $\pm 4^{\frac{3}{2}}$ 。

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解题步骤 5.5.4.2.1.1

化简表达式。

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解题步骤 5.5.4.2.1.1.1

将 $4$ 重写为 $2^{2}$ 。

$x = \pm {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

解题步骤 5.5.4.2.1.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

解题步骤 5.5.4.2.1.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 5.5.4.2.1.2.1

约去公因数。

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

解题步骤 5.5.4.2.1.2.2

重写表达式。

$x = \pm 2^{3}$

解题步骤 5.5.4.2.1.3

对 $2$ 进行 $3$ 次方运算。

$x = \pm 8$

解题步骤 5.5.5

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

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解题步骤 5.5.5.1

首先，利用 $\pm$ 的正值求第一个解。

$x = 8$

解题步骤 5.5.5.2

下一步，使用 $\pm$ 的负值来求第二个解。

$x = - 8$

解题步骤 5.5.5.3

完全解为同时包括解的正数和负数部分的结果。

$x = 8, - 8$

解题步骤 6

求使导数无意义的值。

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解题步骤 6.1

应用法则 $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ 将乘幂重写成根数。

$3 - \frac{12}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

解题步骤 6.2

将 $\frac{12}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ 的分母设为等于 $0$ ，以求使表达式无意义的区间。

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

解题步骤 6.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.1

要去掉方程左边的根式，请对方程两边进行立方。

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2

化简方程的两边。

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解题步骤 6.3.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{2}}$ 重写成 $x^{\frac{2}{3}}$ 。

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2

化简左边。

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解题步骤 6.3.2.2.1

将 ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 6.3.2.2.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 6.3.2.2.1.2.1

约去公因数。

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.2.1.2.2

重写表达式。

$x^{2} = 0^{3}$

解题步骤 6.3.2.3

化简右边。

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解题步骤 6.3.2.3.1

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$x^{2} = 0$

解题步骤 6.3.3

求解 $x$ 。

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解题步骤 6.3.3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

解题步骤 6.3.3.2

化简 $\pm \sqrt{0}$ 。

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解题步骤 6.3.3.2.1

将 $0$ 重写为 $0^{2}$ 。

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

解题步骤 6.3.3.2.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$x = \pm 0$

解题步骤 6.3.3.2.3

正负 $0$ 是 $0$ 。

$x = 0$

解题步骤 7

要计算的驻点。

$x = 8, - 8, 0$

解题步骤 8

计算在 $x = 8$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{8}{{(8)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 9

计算二阶导数。

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解题步骤 9.1

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 $8^{1}$ 移动到分母。

$\frac{1}{{(8)}^{\frac{5}{3}} \cdot 8^{- 1}}$

解题步骤 9.2

通过指数相加将 ${(8)}^{\frac{5}{3}}$ 乘以 $8^{- 1}$ 。

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解题步骤 9.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\frac{1}{8^{\frac{5}{3} - 1}}$

解题步骤 9.2.2

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{8^{\frac{5}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}}$

解题步骤 9.2.3

组合 $- 1$ 和 $\frac{3}{3}$ 。

$\frac{1}{8^{\frac{5}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}}$

解题步骤 9.2.4

在公分母上合并分子。

$\frac{1}{8^{\frac{5 - 1 \cdot 3}{3}}}$

解题步骤 9.2.5

化简分子。

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解题步骤 9.2.5.1

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{8^{\frac{5 - 3}{3}}}$

解题步骤 9.2.5.2

从 $5$ 中减去 $3$ 。

$\frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 9.3

化简分母。

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解题步骤 9.3.1

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$\frac{1}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 9.3.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{1}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

解题步骤 9.3.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 9.3.3.1

约去公因数。

$\frac{1}{2^{3 (\frac{2}{3})}}$

解题步骤 9.3.3.2

重写表达式。

$\frac{1}{2^{2}}$

解题步骤 9.3.4

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{1}{4}$

解题步骤 10

因为二阶导数的值为正数，所以 $x = 8$ 是一个极小值。这被称为二阶导数试验法。

$x = 8$ 是一个极小值

解题步骤 11

求 $x = 8$ 时的 y 值。

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解题步骤 11.1

使用表达式中的 $8$ 替换变量 $x$ 。

$f (8) = 3 (8) - 36 {(8)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2

化简结果。

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解题步骤 11.2.1

化简每一项。

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解题步骤 11.2.1.1

将 $3$ 乘以 $8$ 。

$f (8) = 24 - 36 {(8)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2.1.2

将 $8$ 重写为 $2^{3}$ 。

$f (8) = 24 - 36 {(2^{3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 11.2.1.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 11.2.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 11.2.1.4.1

约去公因数。

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 11.2.1.4.2

重写表达式。

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2$

解题步骤 11.2.1.5

计算指数。

$f (8) = 24 - 36 \cdot 2$

解题步骤 11.2.1.6

将 $- 36$ 乘以 $2$ 。

$f (8) = 24 - 72$

解题步骤 11.2.2

从 $24$ 中减去 $72$ 。

$f (8) = - 48$

解题步骤 11.2.3

最终答案为 $- 48$ 。

$y = - 48$

解题步骤 12

计算在 $x = - 8$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{8}{{(- 8)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13

计算二阶导数。

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解题步骤 13.1

化简分母。

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解题步骤 13.1.1

将 $- 8$ 重写为 ${(- 2)}^{3}$ 。

$\frac{8}{{({(- 2)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 13.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{8}{{(- 2)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

解题步骤 13.1.3

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 13.1.3.1

约去公因数。

$\frac{8}{{(- 2)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

解题步骤 13.1.3.2

重写表达式。

$\frac{8}{{(- 2)}^{5}}$

解题步骤 13.1.4

对 $- 2$ 进行 $5$ 次方运算。

$\frac{8}{- 32}$

解题步骤 13.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 13.2.1

约去 $8$ 和 $- 32$ 的公因数。

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解题步骤 13.2.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 (1)}{- 32}$

解题步骤 13.2.1.2

约去公因数。

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解题步骤 13.2.1.2.1

从 $- 32$ 中分解出因数 $8$ 。

$\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 4}$

解题步骤 13.2.1.2.2

约去公因数。

$\frac{8 \cdot 1}{8 \cdot - 4}$

解题步骤 13.2.1.2.3

重写表达式。

$\frac{1}{- 4}$

解题步骤 13.2.2

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{4}$

解题步骤 14

因为二阶导数的值为负数，所以 $x = - 8$ 是一个极大值。这被称为二阶导数试验法。

$x = - 8$ 是一个极大值

解题步骤 15

求 $x = - 8$ 时的 y 值。

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解题步骤 15.1

使用表达式中的 $- 8$ 替换变量 $x$ 。

$f (- 8) = 3 (- 8) - 36 {(- 8)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 15.2

化简结果。

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解题步骤 15.2.1

化简每一项。

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解题步骤 15.2.1.1

将 $3$ 乘以 $- 8$ 。

$f (- 8) = - 24 - 36 {(- 8)}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 15.2.1.2

将 $- 8$ 重写为 ${(- 2)}^{3}$ 。

$f (- 8) = - 24 - 36 {({(- 2)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

解题步骤 15.2.1.3

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f (- 8) = - 24 - 36 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 15.2.1.4

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 15.2.1.4.1

约去公因数。

$f (- 8) = - 24 - 36 {(- 2)}^{3 (\frac{1}{3})}$

解题步骤 15.2.1.4.2

重写表达式。

$f (- 8) = - 24 - 36 \cdot - 2$

解题步骤 15.2.1.5

计算指数。

$f (- 8) = - 24 - 36 \cdot - 2$

解题步骤 15.2.1.6

将 $- 36$ 乘以 $- 2$ 。

$f (- 8) = - 24 + 72$

解题步骤 15.2.2

将 $- 24$ 和 $72$ 相加。

$f (- 8) = 48$

解题步骤 15.2.3

最终答案为 $48$ 。

$y = 48$

解题步骤 16

计算在 $x = 0$ 处的二阶导数。如果该二阶导数为正，那么这是一个极小值。如果为负，则为极大值。

$\frac{8}{{(0)}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 17

计算二阶导数。

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解题步骤 17.1

化简表达式。

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解题步骤 17.1.1

将 $0$ 重写为 $0^{3}$ 。

$\frac{8}{{(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

解题步骤 17.1.2

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\frac{8}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

解题步骤 17.2

约去 $3$ 的公因数。

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解题步骤 17.2.1

约去公因数。

$\frac{8}{0^{3 (\frac{5}{3})}}$

解题步骤 17.2.2

重写表达式。

$\frac{8}{0^{5}}$

解题步骤 17.3

对 $0$ 进行任意正数次方的运算均得到 $0$ 。

$\frac{8}{0}$

解题步骤 17.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

解题步骤 18

因为至少有一个点是 $0$ 或使二阶导数无意义，所以使用一阶导数判别法。

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解题步骤 18.1

根据使一阶导数为 $0$ 或无意义的 $x$ 值，将 $(- \infty, \infty)$ 分割为不同的区间。

$(- \infty, - 8) \cup (- 8, 0) \cup (0, 8) \cup (8, \infty)$

解题步骤 18.2

将区间 $(- \infty, - 8)$ 内的任一数字（例如 $- 10$ ）代入一阶导数 $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 18.2.1

使用表达式中的 $- 10$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 10) = 3 - \frac{12}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.2.2

最终答案为 $3 - \frac{12}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$3 - \frac{12}{{(- 10)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.3

将区间 $(- 8, 0)$ 内的任一数字（例如 $- 4$ ）代入一阶导数 $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 18.3.1

使用表达式中的 $- 4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (- 4) = 3 - \frac{12}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.3.2

最终答案为 $3 - \frac{12}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$ 。

$3 - \frac{12}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.4

将区间 $(0, 8)$ 内的任一数字（例如 $4$ ）代入一阶导数 $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 18.4.1

使用表达式中的 $4$ 替换变量 $x$ 。

$f' (4) = 3 - \frac{12}{{(4)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.4.2

化简结果。

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解题步骤 18.4.2.1

去掉圆括号。

$f' (4) = 3 - \frac{12}{4^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.4.2.2

最终答案为 $3 - \frac{12}{4^{\frac{2}{3}}}$ 。

$3 - \frac{12}{4^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.5

将区间 $(8, \infty)$ 内的任一数字（例如 $10$ ）代入一阶导数 $3 - \frac{12}{x^{\frac{2}{3}}}$ 中，检查所得结果是负数还是正数。

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解题步骤 18.5.1

使用表达式中的 $10$ 替换变量 $x$ 。

$f' (10) = 3 - \frac{12}{{(10)}^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.5.2

化简结果。

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解题步骤 18.5.2.1

去掉圆括号。

$f' (10) = 3 - \frac{12}{10^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.5.2.2

最终答案为 $3 - \frac{12}{10^{\frac{2}{3}}}$ 。

$3 - \frac{12}{10^{\frac{2}{3}}}$

解题步骤 18.6

由于一阶导数在 $x = - 8$ 周围从正号变为负号，因此 $x = - 8$ 是极大值。

$x = - 8$ 是一个极大值

解题步骤 18.7

由于一阶导数在 $x = 0$ 周围没有改变符号，因此这不是极大值或极小值。

不存在极大值或极小值

解题步骤 18.8

由于一阶导数在 $x = 8$ 周围从负号变为正号，因此 $x = 8$ 是极小值。

$x = 8$ 是一个极小值

解题步骤 18.9

这些是 $f (x) = 3 x - 36 x^{\frac{1}{3}}$ 的局部极值。

$x = - 8$ 是一个极大值

$x = 8$ 是一个极小值

$x = - 8$ 是一个极大值

$x = 8$ 是一个极小值

解题步骤 19

微积分学 示例

微积分学示例