微积分学示例

$lim_{x \to - 10} \frac{x^{2} + 10 x}{(x^{2} + 100) (x + 10)}$

解题步骤 1

运用洛必达法则。

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解题步骤 1.1

计算分子和分母的极限值。

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解题步骤 1.1.1

取分子和分母极限值。

$\frac{lim_{x \to - 10} x^{2} + 10 x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

解题步骤 1.1.2

计算分子的极限值。

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解题步骤 1.1.2.1

当 $x$ 趋于 $- 10$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 10} x^{2} + lim_{x \to - 10} 10 x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

解题步骤 1.1.2.2

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + lim_{x \to - 10} 10 x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

解题步骤 1.1.2.3

因为项 $10$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{{(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 10 lim_{x \to - 10} x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

解题步骤 1.1.2.4

将 $- 10$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.2.4.1

将 $- 10$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(- 10)}^{2} + 10 lim_{x \to - 10} x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

解题步骤 1.1.2.4.2

将 $- 10$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{{(- 10)}^{2} + 10 \cdot - 10}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

解题步骤 1.1.2.5

化简答案。

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解题步骤 1.1.2.5.1

化简每一项。

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解题步骤 1.1.2.5.1.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{100 + 10 \cdot - 10}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

解题步骤 1.1.2.5.1.2

将 $10$ 乘以 $- 10$ 。

$\frac{100 - 100}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

解题步骤 1.1.2.5.2

从 $100$ 中减去 $100$ 。

$\frac{0}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

解题步骤 1.1.3

计算分母的极限值。

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解题步骤 1.1.3.1

当 $x$ 趋于 $- 10$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$\frac{0}{lim_{x \to - 10} x^{2} + 100 \cdot lim_{x \to - 10} x + 10}$

解题步骤 1.1.3.2

当 $x$ 趋于 $- 10$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{(lim_{x \to - 10} x^{2} + lim_{x \to - 10} 100) \cdot lim_{x \to - 10} x + 10}$

解题步骤 1.1.3.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{0}{({(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + lim_{x \to - 10} 100) \cdot lim_{x \to - 10} x + 10}$

解题步骤 1.1.3.4

计算 $100$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 10$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{({(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 100) \cdot lim_{x \to - 10} x + 10}$

解题步骤 1.1.3.5

当 $x$ 趋于 $- 10$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{0}{({(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 100) \cdot (lim_{x \to - 10} x + lim_{x \to - 10} 10)}$

解题步骤 1.1.3.6

计算 $10$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 10$ 时此极限值为常数。

$\frac{0}{({(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 100) \cdot (lim_{x \to - 10} x + 10)}$

解题步骤 1.1.3.7

将 $- 10$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 1.1.3.7.1

将 $- 10$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{({(- 10)}^{2} + 100) \cdot (lim_{x \to - 10} x + 10)}$

解题步骤 1.1.3.7.2

将 $- 10$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{0}{({(- 10)}^{2} + 100) \cdot (- 10 + 10)}$

解题步骤 1.1.3.8

化简答案。

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解题步骤 1.1.3.8.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{0}{(100 + 100) \cdot (- 10 + 10)}$

解题步骤 1.1.3.8.2

将 $100$ 和 $100$ 相加。

$\frac{0}{200 \cdot (- 10 + 10)}$

解题步骤 1.1.3.8.3

将 $- 10$ 和 $10$ 相加。

$\frac{0}{200 \cdot 0}$

解题步骤 1.1.3.8.4

将 $200$ 乘以 $0$ 。

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.8.5

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.3.9

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.1.4

该表达式包含分母 $0$ 。该表达式无定义。

无定义

$\frac{0}{0}$

解题步骤 1.2

因为 $\frac{0}{0}$ 是不定式，所以应该应用洛必达法则。洛必达法则表明，函数的商的极限等于它们导数的商的极限。

$lim_{x \to - 10} \frac{x^{2} + 10 x}{(x^{2} + 100) (x + 10)} = lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

解题步骤 1.3

求分子和分母的导数。

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解题步骤 1.3.1

对分子和分母进行求导。

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{2} + 10 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ 。

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

解题步骤 1.3.4

计算 $\frac{d}{d x} [10 x]$ 。

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解题步骤 1.3.4.1

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10 x$ 对 $x$ 的导数是 $10 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

解题步骤 1.3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

解题步骤 1.3.4.3

将 $10$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

解题步骤 1.3.5

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x^{2} + 100$ 且 $g (x) = x + 10$ 。

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) \frac{d}{d x} [x + 10] + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

解题步骤 1.3.6

根据加法法则， $x + 10$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ 。

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

解题步骤 1.3.7

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) (1 + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

解题步骤 1.3.8

因为 $10$ 对于 $x$ 是常数，所以 $10$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) (1 + 0) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

解题步骤 1.3.9

将 $1$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) \cdot 1 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

解题步骤 1.3.10

将 $x^{2} + 100$ 乘以 $1$ 。

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

解题步骤 1.3.11

根据加法法则， $x^{2} + 100$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [100]$ 。

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [100])}$

解题步骤 1.3.12

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) (2 x + \frac{d}{d x} [100])}$

解题步骤 1.3.13

因为 $100$ 对于 $x$ 是常数，所以 $100$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) (2 x + 0)}$

解题步骤 1.3.14

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) (2 x)}$

解题步骤 1.3.15

将 $2$ 移到 $x + 10$ 的左侧。

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 \cdot (x + 10) x}$

解题步骤 1.3.16

化简。

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解题步骤 1.3.16.1

运用分配律。

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (2 x + 2 \cdot 10) x}$

解题步骤 1.3.16.2

运用分配律。

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 x \cdot x + 2 \cdot 10 x}$

解题步骤 1.3.16.3

合并项。

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解题步骤 1.3.16.3.1

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 10 x}$

解题步骤 1.3.16.3.2

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 10 x}$

解题步骤 1.3.16.3.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 10 x}$

解题步骤 1.3.16.3.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 x^{2} + 2 \cdot 10 x}$

解题步骤 1.3.16.3.5

将 $2$ 乘以 $10$ 。

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 x^{2} + 20 x}$

解题步骤 1.3.16.3.6

将 $x^{2}$ 和 $2 x^{2}$ 相加。

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{3 x^{2} + 100 + 20 x}$

解题步骤 1.3.16.4

重新排序项。

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{3 x^{2} + 20 x + 100}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

当 $x$ 趋于 $- 10$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 10} 2 x + 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + 20 x + 100}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $- 10$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to - 10} 2 x + lim_{x \to - 10} 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + 20 x + 100}$

解题步骤 2.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + lim_{x \to - 10} 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + 20 x + 100}$

解题步骤 2.4

计算 $10$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 10$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + 20 x + 100}$

解题步骤 2.5

当 $x$ 趋于 $- 10$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + lim_{x \to - 10} 20 x + lim_{x \to - 10} 100}$

解题步骤 2.6

因为项 $3$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{3 lim_{x \to - 10} x^{2} + lim_{x \to - 10} 20 x + lim_{x \to - 10} 100}$

解题步骤 2.7

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{3 {(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + lim_{x \to - 10} 20 x + lim_{x \to - 10} 100}$

解题步骤 2.8

因为项 $20$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{3 {(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 10} x + lim_{x \to - 10} 100}$

解题步骤 2.9

计算 $100$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $- 10$ 时此极限值为常数。

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{3 {(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 10} x + 100}$

解题步骤 3

将 $- 10$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $- 10$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cdot - 10 + 10}{3 {(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 10} x + 100}$

解题步骤 3.2

将 $- 10$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cdot - 10 + 10}{3 {(- 10)}^{2} + 20 lim_{x \to - 10} x + 100}$

解题步骤 3.3

将 $- 10$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{2 \cdot - 10 + 10}{3 {(- 10)}^{2} + 20 \cdot - 10 + 100}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

化简分子。

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解题步骤 4.1.1

将 $2$ 乘以 $- 10$ 。

$\frac{- 20 + 10}{3 {(- 10)}^{2} + 20 \cdot - 10 + 100}$

解题步骤 4.1.2

将 $- 20$ 和 $10$ 相加。

$\frac{- 10}{3 {(- 10)}^{2} + 20 \cdot - 10 + 100}$

解题步骤 4.2

化简分母。

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解题步骤 4.2.1

对 $- 10$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{- 10}{3 \cdot 100 + 20 \cdot - 10 + 100}$

解题步骤 4.2.2

将 $3$ 乘以 $100$ 。

$\frac{- 10}{300 + 20 \cdot - 10 + 100}$

解题步骤 4.2.3

将 $20$ 乘以 $- 10$ 。

$\frac{- 10}{300 - 200 + 100}$

解题步骤 4.2.4

从 $300$ 中减去 $200$ 。

$\frac{- 10}{100 + 100}$

解题步骤 4.2.5

将 $100$ 和 $100$ 相加。

$\frac{- 10}{200}$

解题步骤 4.3

约去 $- 10$ 和 $200$ 的公因数。

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解题步骤 4.3.1

从 $- 10$ 中分解出因数 $10$ 。

$\frac{10 (- 1)}{200}$

解题步骤 4.3.2

约去公因数。

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解题步骤 4.3.2.1

从 $200$ 中分解出因数 $10$ 。

$\frac{10 \cdot - 1}{10 \cdot 20}$

解题步骤 4.3.2.2

约去公因数。

$\frac{10 \cdot - 1}{10 \cdot 20}$

解题步骤 4.3.2.3

重写表达式。

$\frac{- 1}{20}$

解题步骤 4.4

将负号移到分数的前面。

$- \frac{1}{20}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$- \frac{1}{20}$

小数形式：

$- 0.05$

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