微积分学示例

$lim_{x \to 8} {(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}}$

解题步骤 1

使用对数的性质化简极限。

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解题步骤 1.1

将 ${(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}}$ 重写为 $e^{\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})}$ 。

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})}$

解题步骤 1.2

通过将 $\frac{2}{x}$ 移到对数外来展开 $\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})$ 。

$lim_{x \to 8} e^{\frac{2}{x} \ln (e^{x} + 1)}$

解题步骤 2

计算极限值。

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解题步骤 2.1

将极限移入指数中。

$e^{lim_{x \to 8} \frac{2}{x} \ln (e^{x} + 1)}$

解题步骤 2.2

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的乘积法则来分解极限。

$e^{lim_{x \to 8} \frac{2}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

解题步骤 2.3

因为项 $2$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$e^{2 lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

解题步骤 2.4

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的除法定则来分解极限。

$e^{2 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

解题步骤 2.5

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

解题步骤 2.6

将极限移入对数中。

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{x} + 1)}$

解题步骤 2.7

当 $x$ 趋于 $8$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{x} + lim_{x \to 8} 1)}$

解题步骤 2.8

将极限移入指数中。

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 1)}$

解题步骤 2.9

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $8$ 时此极限值为常数。

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + 1)}$

解题步骤 3

将 $8$ 代入所有出现 $x$ 的地方来计算极限值。

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解题步骤 3.1

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{2 (\frac{1}{8}) \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + 1)}$

解题步骤 3.2

将 $8$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$e^{2 (\frac{1}{8}) \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

解题步骤 4

化简答案。

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解题步骤 4.1

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 4.1.1

从 $8$ 中分解出因数 $2$ 。

$e^{2 \frac{1}{2 (4)} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

解题步骤 4.1.2

约去公因数。

$e^{2 \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

解题步骤 4.1.3

重写表达式。

$e^{\frac{1}{4} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

解题步骤 4.2

组合 $\frac{1}{4}$ 和 $\ln (e^{8} + 1)$ 。

$e^{\frac{\ln (e^{8} + 1)}{4}}$

解题步骤 5

结果可以多种形式表示。

恰当形式：

$e^{\frac{\ln (e^{8} + 1)}{4}}$

小数形式：

$7.38967570 \dots$

微积分学 示例

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