微积分学示例

${(e^{- t} + e^{t})}^{3}$

解题步骤 1

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = t^{3}$ 且 $g (t) = e^{- t} + e^{t}$ 。

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解题步骤 1.1

要使用链式法则，请将 $u_{1}$ 设为 $e^{- t} + e^{t}$ 。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [e^{- t} + e^{t}]$

解题步骤 1.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ 等于 $n {u_{1}}^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t} + e^{t}]$

解题步骤 1.3

使用 $e^{- t} + e^{t}$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t} + e^{t}]$

解题步骤 2

根据加法法则， $e^{- t} + e^{t}$ 对 $t$ 的导数是 $\frac{d}{d t} [e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{t}]$ 。

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (\frac{d}{d t} [e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

解题步骤 3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ 等于 $f' (g (t)) g' (t)$ ，其中 $f (t) = e^{t}$ 且 $g (t) = - t$ 。

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解题步骤 3.1

要使用链式法则，请将 $u_{2}$ 设为 $- t$ 。

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

解题步骤 3.2

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ 等于 $a^{u_{2}} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

解题步骤 3.3

使用 $- t$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

解题步骤 4

求微分。

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解题步骤 4.1

因为 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以 $- t$ 对 $t$ 的导数是 $- \frac{d}{d t} [t]$ 。

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

解题步骤 4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

解题步骤 4.3

化简表达式。

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解题步骤 4.3.1

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

解题步骤 4.3.2

将 $- 1$ 移到 $e^{- t}$ 的左侧。

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (- 1 \cdot e^{- t} + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

解题步骤 4.3.3

将 $- 1 e^{- t}$ 重写为 $- e^{- t}$ 。

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (- e^{- t} + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

解题步骤 5

使用指数法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ 等于 $a^{t} \ln (a)$ ，其中 $a$ = $e$ 。

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (- e^{- t} + e^{t})$

解题步骤 6

化简。

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解题步骤 6.1

将 ${(e^{- t} + e^{t})}^{2}$ 重写为 $(e^{- t} + e^{t}) (e^{- t} + e^{t})$ 。

$3 ((e^{- t} + e^{t}) (e^{- t} + e^{t})) (- e^{- t} + e^{t})$

解题步骤 6.2

使用 FOIL 方法展开 $(e^{- t} + e^{t}) (e^{- t} + e^{t})$ 。

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解题步骤 6.2.1

运用分配律。

$3 (e^{- t} (e^{- t} + e^{t}) + e^{t} (e^{- t} + e^{t})) (- e^{- t} + e^{t})$

解题步骤 6.2.2

运用分配律。

$3 (e^{- t} e^{- t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} (e^{- t} + e^{t})) (- e^{- t} + e^{t})$

解题步骤 6.2.3

运用分配律。

$3 (e^{- t} e^{- t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

解题步骤 6.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 6.3.1

化简每一项。

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解题步骤 6.3.1.1

通过指数相加将 $e^{- t}$ 乘以 $e^{- t}$ 。

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解题步骤 6.3.1.1.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 (e^{- t - t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

解题步骤 6.3.1.1.2

从 $- t$ 中减去 $t$ 。

$3 (e^{- 2 t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

解题步骤 6.3.1.2

通过指数相加将 $e^{- t}$ 乘以 $e^{t}$ 。

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解题步骤 6.3.1.2.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 (e^{- 2 t} + e^{- t + t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

解题步骤 6.3.1.2.2

将 $- t$ 和 $t$ 相加。

$3 (e^{- 2 t} + e^{0} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

解题步骤 6.3.1.3

化简 $e^{0}$ 。

$3 (e^{- 2 t} + 1 + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

解题步骤 6.3.1.4

通过指数相加将 $e^{t}$ 乘以 $e^{- t}$ 。

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解题步骤 6.3.1.4.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 (e^{- 2 t} + 1 + e^{t - t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

解题步骤 6.3.1.4.2

从 $t$ 中减去 $t$ 。

$3 (e^{- 2 t} + 1 + e^{0} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

解题步骤 6.3.1.5

化简 $e^{0}$ 。

$3 (e^{- 2 t} + 1 + 1 + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

解题步骤 6.3.1.6

通过指数相加将 $e^{t}$ 乘以 $e^{t}$ 。

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解题步骤 6.3.1.6.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 (e^{- 2 t} + 1 + 1 + e^{t + t}) (- e^{- t} + e^{t})$

解题步骤 6.3.1.6.2

将 $t$ 和 $t$ 相加。

$3 (e^{- 2 t} + 1 + 1 + e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

解题步骤 6.3.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$3 (e^{- 2 t} + 2 + e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

解题步骤 6.4

运用分配律。

$(3 e^{- 2 t} + 3 \cdot 2 + 3 e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

解题步骤 6.5

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$(3 e^{- 2 t} + 6 + 3 e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

解题步骤 6.6

将第一个表达式中的每一项与第二个表达式中的每一项相乘来展开 $(3 e^{- 2 t} + 6 + 3 e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$ 。

$3 e^{- 2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

解题步骤 6.7

化简每一项。

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解题步骤 6.7.1

使用乘法的交换性质重写。

$3 \cdot - 1 e^{- 2 t} e^{- t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

解题步骤 6.7.2

通过指数相加将 $e^{- 2 t}$ 乘以 $e^{- t}$ 。

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解题步骤 6.7.2.1

移动 $e^{- t}$ 。

$3 \cdot - 1 (e^{- t} e^{- 2 t}) + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

解题步骤 6.7.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$3 \cdot - 1 e^{- t - 2 t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

解题步骤 6.7.2.3

从 $- t$ 中减去 $2 t$ 。

$3 \cdot - 1 e^{- 3 t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

解题步骤 6.7.3

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

解题步骤 6.7.4

通过指数相加将 $e^{- 2 t}$ 乘以 $e^{t}$ 。

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解题步骤 6.7.4.1

移动 $e^{t}$ 。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 (e^{t} e^{- 2 t}) + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

解题步骤 6.7.4.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{t - 2 t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

解题步骤 6.7.4.3

从 $t$ 中减去 $2 t$ 。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

解题步骤 6.7.5

将 $- 1$ 乘以 $6$ 。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

解题步骤 6.7.6

使用乘法的交换性质重写。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 e^{2 t} e^{- t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

解题步骤 6.7.7

通过指数相加将 $e^{2 t}$ 乘以 $e^{- t}$ 。

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解题步骤 6.7.7.1

移动 $e^{- t}$ 。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 (e^{- t} e^{2 t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

解题步骤 6.7.7.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 e^{- t + 2 t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

解题步骤 6.7.7.3

将 $- t$ 和 $2 t$ 相加。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 e^{t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

解题步骤 6.7.8

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

解题步骤 6.7.9

通过指数相加将 $e^{2 t}$ 乘以 $e^{t}$ 。

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解题步骤 6.7.9.1

移动 $e^{t}$ 。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 (e^{t} e^{2 t})$

解题步骤 6.7.9.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{t + 2 t}$

解题步骤 6.7.9.3

将 $t$ 和 $2 t$ 相加。

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{3 t}$

解题步骤 6.8

从 $3 e^{- t}$ 中减去 $6 e^{- t}$ 。

$- 3 e^{- 3 t} - 3 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{3 t}$

解题步骤 6.9

从 $6 e^{t}$ 中减去 $3 e^{t}$ 。

$- 3 e^{- 3 t} - 3 e^{- t} + 3 e^{t} + 3 e^{3 t}$

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