微积分学示例

$\sum_{k = 1}^{4} {(k + 8)}^{2}$

解题步骤 1

化简总和。

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解题步骤 1.1

将 ${(k + 8)}^{2}$ 重写为 $(k + 8) (k + 8)$ 。

$(k + 8) (k + 8)$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(k + 8) (k + 8)$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$k (k + 8) + 8 (k + 8)$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$k \cdot k + k \cdot 8 + 8 (k + 8)$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$k \cdot k + k \cdot 8 + 8 k + 8 \cdot 8$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

将 $k$ 乘以 $k$ 。

$k^{2} + k \cdot 8 + 8 k + 8 \cdot 8$

解题步骤 1.3.1.2

将 $8$ 移到 $k$ 的左侧。

$k^{2} + 8 \cdot k + 8 k + 8 \cdot 8$

解题步骤 1.3.1.3

将 $8$ 乘以 $8$ 。

$k^{2} + 8 k + 8 k + 64$

解题步骤 1.3.2

将 $8 k$ 和 $8 k$ 相加。

$k^{2} + 16 k + 64$

解题步骤 1.4

重写该总和。

$\sum_{k = 1}^{4} k^{2} + 16 k + 64$

解题步骤 2

展开 $k$ 每个取值的序列。

$1^{2} + 16 \cdot 1 + 64 + 2^{2} + 16 \cdot 2 + 64 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

解题步骤 3

化简。

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解题步骤 3.1

对 $1$ 进行 $2$ 次方运算。

$1 + 16 \cdot 1 + 64 + 2^{2} + 16 \cdot 2 + 64 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

解题步骤 3.2

将 $16$ 乘以 $1$ 。

$1 + 16 + 64 + 2^{2} + 16 \cdot 2 + 64 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

解题步骤 3.3

将 $1$ 和 $16$ 相加。

$17 + 64 + 2^{2} + 16 \cdot 2 + 64 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

解题步骤 3.4

将 $17$ 和 $64$ 相加。

$81 + 2^{2} + 16 \cdot 2 + 64 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

解题步骤 3.5

对 $2$ 进行 $2$ 次方运算。

$81 + 4 + 16 \cdot 2 + 64 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

解题步骤 3.6

将 $16$ 乘以 $2$ 。

$81 + 4 + 32 + 64 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

解题步骤 3.7

将 $4$ 和 $32$ 相加。

$81 + 36 + 64 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

解题步骤 3.8

将 $36$ 和 $64$ 相加。

$81 + 100 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

解题步骤 3.9

将 $81$ 和 $100$ 相加。

$181 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

解题步骤 3.10

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$181 + 9 + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

解题步骤 3.11

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$181 + 9 + 48 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

解题步骤 3.12

将 $9$ 和 $48$ 相加。

$181 + 57 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

解题步骤 3.13

将 $57$ 和 $64$ 相加。

$181 + 121 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

解题步骤 3.14

将 $181$ 和 $121$ 相加。

$302 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

解题步骤 3.15

对 $4$ 进行 $2$ 次方运算。

$302 + 16 + 16 \cdot 4 + 64$

解题步骤 3.16

将 $16$ 乘以 $4$ 。

$302 + 16 + 64 + 64$

解题步骤 3.17

将 $16$ 和 $64$ 相加。

$302 + 80 + 64$

解题步骤 3.18

将 $80$ 和 $64$ 相加。

$302 + 144$

解题步骤 3.19

将 $302$ 和 $144$ 相加。

$446$

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