微积分学示例

$\sum_{k = 5}^{10} - 5 k$

解题步骤 1

分解总和使 $k$ 的初始值等于 $1$ 。

$\sum_{k = 5}^{10} - 5 k = \sum_{k = 1}^{10} - 5 k - \sum_{k = 1}^{4} - 5 k$

解题步骤 2

计算 $\sum_{k = 1}^{10} - 5 k$ 。

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解题步骤 2.1

从总和中因式分解出 $- 5$ 。

$(- 5) \sum_{k = 1}^{10} k$

解题步骤 2.2

度数为 $1$ 的多项式求和公式是：

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

解题步骤 2.3

将该值代入公式并确保乘以前项。

$(- 5) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

解题步骤 2.4

化简。

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解题步骤 2.4.1

将 $10$ 和 $1$ 相加。

$- 5 \frac{10 \cdot 11}{2}$

解题步骤 2.4.2

将 $10$ 乘以 $11$ 。

$- 5 (\frac{110}{2})$

解题步骤 2.4.3

用 $110$ 除以 $2$ 。

$- 5 \cdot 55$

解题步骤 2.4.4

将 $- 5$ 乘以 $55$ 。

$- 275$

$- 275$

$- 275$

解题步骤 3

计算 $\sum_{k = 1}^{4} - 5 k$ 。

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解题步骤 3.1

展开 $k$ 每个取值的序列。

$- 5 \cdot 1 - 5 \cdot 2 - 5 \cdot 3 - 5 \cdot 4$

解题步骤 3.2

化简。

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解题步骤 3.2.1

将 $- 5$ 乘以 $1$ 。

$- 5 - 5 \cdot 2 - 5 \cdot 3 - 5 \cdot 4$

解题步骤 3.2.2

将 $- 5$ 乘以 $2$ 。

$- 5 - 10 - 5 \cdot 3 - 5 \cdot 4$

解题步骤 3.2.3

从 $- 5$ 中减去 $10$ 。

$- 15 - 5 \cdot 3 - 5 \cdot 4$

解题步骤 3.2.4

将 $- 5$ 乘以 $3$ 。

$- 15 - 15 - 5 \cdot 4$

解题步骤 3.2.5

从 $- 15$ 中减去 $15$ 。

$- 30 - 5 \cdot 4$

解题步骤 3.2.6

将 $- 5$ 乘以 $4$ 。

$- 30 - 20$

解题步骤 3.2.7

从 $- 30$ 中减去 $20$ 。

$- 50$

$- 50$

$- 50$

解题步骤 4

用求得的值替换总和。

$- 275 + 50$

解题步骤 5

将 $- 275$ 和 $50$ 相加。

$- 225$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$