微积分学示例

$\frac{lim_{x \to 5^{-}} 7 x^{2} - 1}{x^{2} - 25}$

解题步骤 1

计算极限值。

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解题步骤 1.1

当 $x$ 趋于 $5$ 时，利用极限的加法法则来分解极限。

$\frac{lim_{x \to 5^{-}} 7 x^{2} - lim_{x \to 5^{-}} 1}{x^{2} - 25}$

解题步骤 1.2

因为项 $7$ 对于 $x$ 为常数，所以将其移动到极限外。

$\frac{7 lim_{x \to 5^{-}} x^{2} - lim_{x \to 5^{-}} 1}{x^{2} - 25}$

解题步骤 1.3

使用极限幂法则把 $x^{2}$ 的指数 $2$ 移到极限外。

$\frac{7 {(lim_{x \to 5^{-}} x)}^{2} - lim_{x \to 5^{-}} 1}{x^{2} - 25}$

解题步骤 1.4

计算 $1$ 的极限值，当 $x$ 趋近于 $5$ 时此极限值为常数。

$\frac{7 {(lim_{x \to 5^{-}} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} - 25}$

解题步骤 2

将 $5$ 代入 $x$ 来计算 $x$ 的极限值。

$\frac{7 \cdot 5^{2} - 1 \cdot 1}{x^{2} - 25}$

解题步骤 3

化简答案。

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解题步骤 3.1

化简分子。

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解题步骤 3.1.1

对 $5$ 进行 $2$ 次方运算。

$\frac{7 \cdot 25 - 1 \cdot 1}{x^{2} - 25}$

解题步骤 3.1.2

将 $7$ 乘以 $25$ 。

$\frac{175 - 1 \cdot 1}{x^{2} - 25}$

解题步骤 3.1.3

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$\frac{175 - 1}{x^{2} - 25}$

解题步骤 3.1.4

从 $175$ 中减去 $1$ 。

$\frac{174}{x^{2} - 25}$

解题步骤 3.2

化简分母。

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解题步骤 3.2.1

将 $25$ 重写为 $5^{2}$ 。

$\frac{174}{x^{2} - 5^{2}}$

解题步骤 3.2.2

因为两项都是完全平方数，所以使用平方差公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ 进行因式分解，其中 $a = x$ 和 $b = 5$ 。

$\frac{174}{(x + 5) (x - 5)}$

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