微积分学示例

$\int {(\tan (2 x) + \cot (2 x))}^{2} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

将 ${(\tan (2 x) + \cot (2 x))}^{2}$ 重写为 $(\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x))$ 。

$\int (\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

解题步骤 1.2

使用 FOIL 方法展开 $(\tan (2 x) + \cot (2 x)) (\tan (2 x) + \cot (2 x))$ 。

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解题步骤 1.2.1

运用分配律。

$\int \tan (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) + \cot (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

解题步骤 1.2.2

运用分配律。

$\int \tan (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) (\tan (2 x) + \cot (2 x)) d x$

解题步骤 1.2.3

运用分配律。

$\int \tan (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

解题步骤 1.3

化简并合并同类项。

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解题步骤 1.3.1

化简每一项。

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解题步骤 1.3.1.1

乘以 $\tan (2 x) \tan (2 x)$ 。

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解题步骤 1.3.1.1.1

对 $\tan (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \tan^{1} (2 x) \tan (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

解题步骤 1.3.1.1.2

对 $\tan (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \tan^{1} (2 x) \tan^{1} (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

解题步骤 1.3.1.1.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int {\tan (2 x)}^{1 + 1} + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

解题步骤 1.3.1.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \tan^{2} (2 x) + \tan (2 x) \cot (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

解题步骤 1.3.1.2

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 1.3.1.2.1

将 $\tan (2 x)$ 和 $\cot (2 x)$ 重新排序。

$\int \tan^{2} (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

解题步骤 1.3.1.2.2

将 $\tan (2 x) \cot (2 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \tan^{2} (2 x) + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

解题步骤 1.3.1.2.3

约去公因数。

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + \cot (2 x) \tan (2 x) + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

解题步骤 1.3.1.3

重写为正弦和余弦的形式，然后约去公因式。

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解题步骤 1.3.1.3.1

将 $\cot (2 x) \tan (2 x)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

解题步骤 1.3.1.3.2

约去公因数。

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot (2 x) \cot (2 x) d x$

解题步骤 1.3.1.4

乘以 $\cot (2 x) \cot (2 x)$ 。

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解题步骤 1.3.1.4.1

对 $\cot (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{1} (2 x) \cot (2 x) d x$

解题步骤 1.3.1.4.2

对 $\cot (2 x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{1} (2 x) \cot^{1} (2 x) d x$

解题步骤 1.3.1.4.3

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + {\cot (2 x)}^{1 + 1} d x$

解题步骤 1.3.1.4.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \tan^{2} (2 x) + 1 + 1 + \cot^{2} (2 x) d x$

解题步骤 1.3.2

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \tan^{2} (2 x) + 2 + \cot^{2} (2 x) d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int \tan^{2} (2 x) d x + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

解题步骤 3

使 $u_{1} = 2 x$ 。然后使 $d u_{1} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ 。使用 $u_{1}$ 和 $d$ $u_{1}$ 进行重写。

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解题步骤 3.1

设 $u_{1} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{1}}{d x}$ 。

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解题步骤 3.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 3.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 3.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 3.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 3.2

使用 $u_{1}$ 和 $d u_{1}$ 重写该问题。

$\int \tan^{2} (u_{1}) \frac{1}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

解题步骤 4

组合 $\tan^{2} (u_{1})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\int \frac{\tan^{2} (u_{1})}{2} d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

解题步骤 5

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{1}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int \tan^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

解题步骤 6

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (u_{1})$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (u_{1})$ 的形式。

$\frac{1}{2} \int - 1 + \sec^{2} (u_{1}) d u_{1} + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int - 1 d u_{1} + \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \int \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

解题步骤 9

因为 $\tan (u_{1})$ 的导数为 $\sec^{2} (u_{1})$ ，所以 $\sec^{2} (u_{1})$ 的积分为 $\tan (u_{1})$ 。

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + \int 2 d x + \int \cot^{2} (2 x) d x$

解题步骤 10

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \cot^{2} (2 x) d x$

解题步骤 11

使 $u_{2} = 2 x$ 。然后使 $d u_{2} = 2 d x$ ，以便 $\frac{1}{2} d u_{2} = d x$ 。使用 $u_{2}$ 和 $d$ $u_{2}$ 进行重写。

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解题步骤 11.1

设 $u_{2} = 2 x$ 。求 $\frac{d u_{2}}{d x}$ 。

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解题步骤 11.1.1

对 $2 x$ 求导。

$\frac{d}{d x} [2 x]$

解题步骤 11.1.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$2 \frac{d}{d x} [x]$

解题步骤 11.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 11.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 11.2

使用 $u_{2}$ 和 $d u_{2}$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \cot^{2} (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

解题步骤 12

组合 $\cot^{2} (u_{2})$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \int \frac{\cot^{2} (u_{2})}{2} d u_{2}$

解题步骤 13

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u_{2}$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} \int \cot^{2} (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 14

使用勾股定理，将 $\cot^{2} (u_{2})$ 重写成 $- 1 + \csc^{2} (u_{2})$ 的形式。

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} \int - 1 + \csc^{2} (u_{2}) d u_{2}$

解题步骤 15

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (\int - 1 d u_{2} + \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 16

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (- u_{2} + C + \int \csc^{2} (u_{2}) d u_{2})$

解题步骤 17

因为 $- \cot (u_{2})$ 的导数为 $\csc^{2} (u_{2})$ ，所以 $\csc^{2} (u_{2})$ 的积分为 $- \cot (u_{2})$ 。

$\frac{1}{2} (- u_{1} + C + \tan (u_{1}) + C) + 2 x + C + \frac{1}{2} (- u_{2} + C - \cot (u_{2}) + C)$

解题步骤 18

化简。

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解题步骤 18.1

化简。

$- \frac{u_{1}}{2} + \frac{\tan (u_{1})}{2} + 2 x + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) + C$

解题步骤 18.2

化简。

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解题步骤 18.2.1

要将 $\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1})}{2} + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot \frac{2}{2} + C$

解题步骤 18.2.2

组合 $\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1})}{2} + \frac{\frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 18.2.3

在公分母上合并分子。

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{1}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2})) \cdot 2}{2} + C$

解题步骤 18.2.4

组合 $2$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{2}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

解题步骤 18.2.5

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 18.2.5.1

约去公因数。

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + \frac{2}{2} (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

解题步骤 18.2.5.2

重写表达式。

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) + 1 (- u_{2} - \cot (u_{2}))}{2} + C$

解题步骤 18.2.6

将 $- u_{2} - \cot (u_{2})$ 乘以 $1$ 。

$- \frac{u_{1}}{2} + 2 x + \frac{\tan (u_{1}) - u_{2} - \cot (u_{2})}{2} + C$

解题步骤 19

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 19.1

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{1}$ 。

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - u_{2} - \cot (u_{2})}{2} + C$

解题步骤 19.2

使用 $2 x$ 替换所有出现的 $u_{2}$ 。

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

解题步骤 20

化简。

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解题步骤 20.1

通过约去公因数来化简表达式 $\frac{2 x}{2}$ 。

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解题步骤 20.1.1

约去公因数。

$- \frac{2 x}{2} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

解题步骤 20.1.2

重写表达式。

$- \frac{x}{1} + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

解题步骤 20.2

用 $x$ 除以 $1$ 。

$- x + 2 x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

解题步骤 20.3

将 $- x$ 和 $2 x$ 相加。

$x + \frac{\tan (2 x) - (2 x) - \cot (2 x)}{2} + C$

解题步骤 20.4

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$x + \frac{\tan (2 x) - 2 x - \cot (2 x)}{2} + C$

解题步骤 21

重新排序项。

$x + \frac{1}{2} (\tan (2 x) - 2 x - \cot (2 x)) + C$

微积分学 示例

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