微积分学示例

$\int \frac{{(x - 1)}^{2}}{x} d x$

解题步骤 1

将 ${(x - 1)}^{2}$ 重写为 $(x - 1) (x - 1)$ 。

$\int \frac{(x - 1) (x - 1)}{x} d x$

解题步骤 2

运用分配律。

$\int \frac{x (x - 1) - 1 (x - 1)}{x} d x$

解题步骤 3

运用分配律。

$\int \frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{x} d x$

解题步骤 4

运用分配律。

$\int \frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

解题步骤 5

将 $x$ 和 $- 1$ 重新排序。

$\int \frac{x \cdot x - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

解题步骤 6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{x^{1} x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

解题步骤 7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{x^{1} x^{1} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

解题步骤 8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{x^{1 + 1} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

解题步骤 9

化简表达式。

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解题步骤 9.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{x^{2} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

解题步骤 9.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int \frac{x^{2} - 1 x - 1 x + 1}{x} d x$

解题步骤 10

从 $- 1 x$ 中减去 $1 x$ 。

$\int \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x} d x$

解题步骤 11

用 $x^{2} - 2 x + 1$ 除以 $x$ 。

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解题步骤 11.1

建立要用于相除的多项式。如果不是对于所有指数都有对应的项，则插入带 $0$ 值的项。

$x$

$0$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

解题步骤 11.2

将被除数中的最高阶项 $x^{2}$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$

解题步骤 11.3

将新的商式项乘以除数。

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

解题步骤 11.4

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $x^{2} + 0$ 中的所有符号

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

解题步骤 11.5

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$

解题步骤 11.6

从原来的被除数向下提取下一项到当前被除数中。

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$

解题步骤 11.7

将被除数中的最高阶项 $- 2 x$ 除以除数中的最高阶项 $x$ 。

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$

解题步骤 11.8

将新的商式项乘以除数。

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$
					-	$2 x$	+	$0$

解题步骤 11.9

因为要从被除数中减去该表达式，所以应改变 $- 2 x + 0$ 中的所有符号

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$
					+	$2 x$	-	$0$

解题步骤 11.10

改变符号后，将相乘所得的多项式和最后的被除数相加，得到新的被除数。

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$
					+	$2 x$	-	$0$
							+	$1$

解题步骤 11.11

最终答案为商加上余数除以除数。

$\int x - 2 + \frac{1}{x} d x$

解题步骤 12

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x d x + \int - 2 d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 13

根据幂法则， $x$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{2} x^{2}$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 14

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int \frac{1}{x} d x$

解题步骤 15

$\frac{1}{x}$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| x |)$ 。

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \ln (| x |) + C$

解题步骤 16

化简。

$\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + \ln (| x |) + C$

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