微积分学示例

$\int \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{4} (x)} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

乘以 $1$ 。

$\int \frac{\cos^{3} (x) \cdot 1}{\sin^{4} (x)} d x$

解题步骤 1.2

从 $\sin^{4} (x)$ 中分解出因数 $\sin^{3} (x)$ 。

$\int \frac{\cos^{3} (x) \cdot 1}{\sin^{3} (x) \sin (x)} d x$

解题步骤 1.3

分离分数。

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{3} (x)} d x$

解题步骤 1.4

将 $\frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{3} (x)}$ 转换成 $\cot^{3} (x)$ 。

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cot^{3} (x) d x$

解题步骤 1.5

将 $\frac{1}{\sin (x)}$ 转换成 $\csc (x)$ 。

$\int \csc (x) \cot^{3} (x) d x$

解题步骤 2

将 $\cot^{3} (x)$ 写成 $\cot (x) \cot^{2} (x)$ 的形式。

$\int \csc (x) (\cot (x) \cot^{2} (x)) d x$

解题步骤 3

使用勾股定理，将 $\cot^{2} (x)$ 重写成 $- 1 + \csc^{2} (x)$ 的形式。

$\int \csc (x) \cot (x) (- 1 + \csc^{2} (x)) d x$

解题步骤 4

使 $u = \csc (x)$ 。然后使 $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ ，以便 $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 4.1

设 $u = \csc (x)$ 。求 $\frac{d u}{d x}$ 。

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解题步骤 4.1.1

对 $\csc (x)$ 求导。

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

解题步骤 4.1.2

$\csc (x)$ 对 $x$ 的导数为 $- \csc (x) \cot (x)$ 。

$- \csc (x) \cot (x)$

解题步骤 4.1.3

重新排序 $- \csc (x) \cot (x)$ 的因式。

$- \cot (x) \csc (x)$

解题步骤 4.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\int - (- 1 + u^{2}) d u$

解题步骤 5

乘以 $- (- 1 + u^{2})$ 。

$\int - - 1 - u^{2} d u$

解题步骤 6

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$\int 1 - u^{2} d u$

解题步骤 7

将单个积分拆分为多个积分。

$\int d u + \int - u^{2} d u$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$u + C + \int - u^{2} d u$

解题步骤 9

由于 $- 1$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$u + C - \int u^{2} d u$

解题步骤 10

根据幂法则， $u^{2}$ 对 $u$ 的积分是 $\frac{1}{3} u^{3}$ 。

$u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

解题步骤 11

化简。

$u - \frac{1}{3} u^{3} + C$

解题步骤 12

使用 $\csc (x)$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\csc (x) - \frac{1}{3} \csc^{3} (x) + C$

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