微积分学示例

$\int {(x^{2} + 5)}^{3} d x$

解题步骤 1

展开 ${(x^{2} + 5)}^{3}$ 。

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解题步骤 1.1

使用二项式定理。

$\int {(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3} d x$

解题步骤 1.2

将幂重写为乘积形式。

$\int x^{2} {(x^{2})}^{2} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3} d x$

解题步骤 1.3

将幂重写为乘积形式。

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3} d x$

解题步骤 1.4

将幂重写为乘积形式。

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3} d x$

解题步骤 1.5

将幂重写为乘积形式。

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5^{3} d x$

解题步骤 1.6

将幂重写为乘积形式。

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5 \cdot 5^{2} d x$

解题步骤 1.7

将幂重写为乘积形式。

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5 \cdot (5 \cdot 5) d x$

解题步骤 1.8

移动 $x^{2}$ 。

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 5 x^{2} + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5 \cdot (5 \cdot 5) d x$

解题步骤 1.9

移动 $x^{2}$ 。

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5 \cdot (5 \cdot 5) d x$

解题步骤 1.10

移动 $x^{2}$ 。

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot (5 \cdot 5) d x$

解题步骤 1.11

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{2 + 2} x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

解题步骤 1.12

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int x^{4} x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

解题步骤 1.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{4 + 2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

解题步骤 1.14

将 $4$ 和 $2$ 相加。

$\int x^{6} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

解题步骤 1.15

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\int x^{6} + 15 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

解题步骤 1.16

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{6} + 15 x^{2 + 2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

解题步骤 1.17

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

解题步骤 1.18

将 $3$ 乘以 $5$ 。

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 15 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

解题步骤 1.19

将 $15$ 乘以 $5$ 。

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

解题步骤 1.20

将 $5$ 乘以 $5$ 。

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 25 \cdot 5 d x$

解题步骤 1.21

将 $25$ 乘以 $5$ 。

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 125 d x$

解题步骤 2

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{6} d x + \int 15 x^{4} d x + \int 75 x^{2} d x + \int 125 d x$

解题步骤 3

根据幂法则， $x^{6}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{7} x^{7}$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int 15 x^{4} d x + \int 75 x^{2} d x + \int 125 d x$

解题步骤 4

由于 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $15$ 移到积分外。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 \int x^{4} d x + \int 75 x^{2} d x + \int 125 d x$

解题步骤 5

根据幂法则， $x^{4}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{5} x^{5}$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 75 x^{2} d x + \int 125 d x$

解题步骤 6

由于 $75$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $75$ 移到积分外。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 75 \int x^{2} d x + \int 125 d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{2}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{1}{3} x^{3}$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 75 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 125 d x$

解题步骤 8

应用常数不变法则。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 75 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 125 x + C$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

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解题步骤 9.1.1

组合 $\frac{1}{5}$ 和 $x^{5}$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 75 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 125 x + C$

解题步骤 9.1.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $x^{3}$ 。

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 75 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 125 x + C$

解题步骤 9.2

化简。

$\frac{x^{7}}{7} + 3 x^{5} + 25 x^{3} + 125 x + C$

解题步骤 9.3

重新排序项。

$\frac{1}{7} x^{7} + 3 x^{5} + 25 x^{3} + 125 x + C$

微积分学 示例

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