微积分学示例

$\int 16 \sqrt[3]{x^{5}} - \frac{16}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

解题步骤 1

将单个积分拆分为多个积分。

$\int 16 \sqrt[3]{x^{5}} d x + \int - \frac{16}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

解题步骤 2

由于 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $16$ 移到积分外。

$16 \int \sqrt[3]{x^{5}} d x + \int - \frac{16}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

解题步骤 3

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{5}}$ 重写成 $x^{\frac{5}{3}}$ 。

$16 \int x^{\frac{5}{3}} d x + \int - \frac{16}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

解题步骤 4

根据幂法则， $x^{\frac{5}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}}$ 。

$16 (\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C) + \int - \frac{16}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

解题步骤 5

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$16 (\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C) - \int \frac{16}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

解题步骤 6

由于 $16$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $16$ 移到积分外。

$16 (\frac{3}{8} x^{\frac{8}{3}} + C) - (16 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x)$

解题步骤 7

化简表达式。

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解题步骤 7.1

化简。

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解题步骤 7.1.1

组合 $\frac{3}{8}$ 和 $x^{\frac{8}{3}}$ 。

$16 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - (16 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x)$

解题步骤 7.1.2

将 $16$ 乘以 $- 1$ 。

$16 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 16 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x^{5}}} d x$

解题步骤 7.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 7.2.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x^{5}}$ 重写成 $x^{\frac{5}{3}}$ 。

$16 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 16 \int \frac{1}{x^{\frac{5}{3}}} d x$

解题步骤 7.2.2

通过将 $x^{\frac{5}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$16 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 16 \int {(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1} d x$

解题步骤 7.2.3

将 ${(x^{\frac{5}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 7.2.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$16 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 16 \int x^{\frac{5}{3} \cdot - 1} d x$

解题步骤 7.2.3.2

乘以 $\frac{5}{3} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 7.2.3.2.1

组合 $\frac{5}{3}$ 和 $- 1$ 。

$16 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 16 \int x^{\frac{5 \cdot - 1}{3}} d x$

解题步骤 7.2.3.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$16 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 16 \int x^{\frac{- 5}{3}} d x$

解题步骤 7.2.3.3

将负号移到分数的前面。

$16 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 16 \int x^{- \frac{5}{3}} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- \frac{5}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $- \frac{3}{2} x^{- \frac{2}{3}}$ 。

$16 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 16 (- \frac{3}{2} x^{- \frac{2}{3}} + C)$

解题步骤 9

化简。

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解题步骤 9.1

化简。

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解题步骤 9.1.1

组合 $x^{- \frac{2}{3}}$ 和 $\frac{3}{2}$ 。

$16 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 16 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} \cdot 3}{2} + C)$

解题步骤 9.1.2

将 $3$ 移到 $x^{- \frac{2}{3}}$ 的左侧。

$16 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 16 (- \frac{3 \cdot x^{- \frac{2}{3}}}{2} + C)$

解题步骤 9.1.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 $x^{- \frac{2}{3}}$ 移动到分母。

$16 (\frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8} + C) - 16 (- \frac{3}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C)$

解题步骤 9.2

化简。

$6 x^{\frac{8}{3}} - 16 (- \frac{3}{2 x^{\frac{2}{3}}}) + C$

解题步骤 9.3

化简。

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解题步骤 9.3.1

将 $- 1$ 乘以 $- 16$ 。

$6 x^{\frac{8}{3}} + 16 \frac{3}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C$

解题步骤 9.3.2

组合 $16$ 和 $\frac{3}{2 x^{\frac{2}{3}}}$ 。

$6 x^{\frac{8}{3}} + \frac{16 \cdot 3}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C$

解题步骤 9.3.3

将 $16$ 乘以 $3$ 。

$6 x^{\frac{8}{3}} + \frac{48}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C$

解题步骤 9.3.4

从 $48$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 x^{\frac{8}{3}} + \frac{2 \cdot 24}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C$

解题步骤 9.3.5

约去公因数。

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解题步骤 9.3.5.1

从 $2 x^{\frac{2}{3}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$6 x^{\frac{8}{3}} + \frac{2 \cdot 24}{2 (x^{\frac{2}{3}})} + C$

解题步骤 9.3.5.2

约去公因数。

$6 x^{\frac{8}{3}} + \frac{2 \cdot 24}{2 x^{\frac{2}{3}}} + C$

解题步骤 9.3.5.3

重写表达式。

$6 x^{\frac{8}{3}} + \frac{24}{x^{\frac{2}{3}}} + C$

微积分学 示例

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