微积分学示例

$f (x) = \frac{24}{x^{2} + 12}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 1.1.1

因为 $24$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{24}{x^{2} + 12}$ 对 $x$ 的导数是 $24 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2} + 12}]$ 。

$f' (x) = 24 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2} + 12})$

解题步骤 1.1.2

将 $\frac{1}{x^{2} + 12}$ 重写为 ${(x^{2} + 12)}^{- 1}$ 。

$f' (x) = 24 \frac{d}{d x} ({(x^{2} + 12)}^{- 1})$

解题步骤 1.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- 1}$ 且 $g (x) = x^{2} + 12$ 。

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解题步骤 1.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 12$ 。

$f' (x) = 24 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

解题步骤 1.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - 1$ 。

$f' (x) = 24 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

解题步骤 1.2.3

使用 $x^{2} + 12$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = 24 (- {(x^{2} + 12)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

解题步骤 1.3

求微分。

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解题步骤 1.3.1

将 $- 1$ 乘以 $24$ 。

$f' (x) = - 24 ({(x^{2} + 12)}^{- 2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))$

解题步骤 1.3.2

根据加法法则， $x^{2} + 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ 。

$f' (x) = - 24 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12))$

解题步骤 1.3.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = - 24 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x + \frac{d}{d x} (12))$

解题步骤 1.3.4

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = - 24 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x + 0)$

解题步骤 1.3.5

化简表达式。

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解题步骤 1.3.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = - 24 {(x^{2} + 12)}^{- 2} (2 x)$

解题步骤 1.3.5.2

将 $2$ 乘以 $- 24$ 。

$f' (x) = - 48 {(x^{2} + 12)}^{- 2} x$

解题步骤 1.4

化简。

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解题步骤 1.4.1

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 重写表达式。

$f' (x) = - 48 \frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{2}} \cdot x$

解题步骤 1.4.2

合并项。

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解题步骤 1.4.2.1

组合 $- 48$ 和 $\frac{1}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{- 48}{{(x^{2} + 12)}^{2}} \cdot x$

解题步骤 1.4.2.2

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{48}{{(x^{2} + 12)}^{2}} \cdot x$

解题步骤 1.4.2.3

组合 $x$ 和 $\frac{48}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ 。

$f' (x) = - \frac{x \cdot 48}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

解题步骤 1.4.2.4

将 $48$ 移到 $x$ 的左侧。

$f' (x) = - \frac{48 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

因为 $- 48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{48 x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 48 \frac{d}{d x} [\frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}]$ 。

$f'' (x) = - 48 \frac{d}{d x} \frac{x}{{(x^{2} + 12)}^{2}}$

解题步骤 2.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 12)}^{2}$ 。

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{2}}{{({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}}$

解题步骤 2.3

使用幂法则求微分。

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解题步骤 2.3.1

将 ${({(x^{2} + 12)}^{2})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{2 \cdot 2}}$

解题步骤 2.3.1.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

解题步骤 2.3.3

将 ${(x^{2} + 12)}^{2}$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

解题步骤 2.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{2}$ 且 $g (x) = x^{2} + 12$ 。

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解题步骤 2.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 12$ 。

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

解题步骤 2.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

解题步骤 2.4.3

使用 $x^{2} + 12$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - x (2 (x^{2} + 12) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

解题步骤 2.5

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 2.5.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = - 48 \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

解题步骤 2.5.2

从 ${(x^{2} + 12)}^{2} - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ 中分解出因数 $x^{2} + 12$ 。

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解题步骤 2.5.2.1

从 ${(x^{2} + 12)}^{2}$ 中分解出因数 $x^{2} + 12$ 。

$f'' (x) = - 48 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) - 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

解题步骤 2.5.2.2

从 $- 2 x ((x^{2} + 12) \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ 中分解出因数 $x^{2} + 12$ 。

$f'' (x) = - 48 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

解题步骤 2.5.2.3

从 $(x^{2} + 12) (x^{2} + 12) + (x^{2} + 12) (- 2 x (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))$ 中分解出因数 $x^{2} + 12$ 。

$f'' (x) = - 48 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

解题步骤 2.6

约去公因数。

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解题步骤 2.6.1

从 ${(x^{2} + 12)}^{4}$ 中分解出因数 $x^{2} + 12$ 。

$f'' (x) = - 48 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

解题步骤 2.6.2

约去公因数。

$f'' (x) = - 48 \frac{(x^{2} + 12) (x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{(x^{2} + 12) {(x^{2} + 12)}^{3}}$

解题步骤 2.6.3

重写表达式。

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

解题步骤 2.7

根据加法法则， $x^{2} + 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ 。

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12))}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

解题步骤 2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + \frac{d}{d x} (12))}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

解题步骤 2.9

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

解题步骤 2.10

化简表达式。

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解题步骤 2.10.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 2 x (2 x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

解题步骤 2.10.2

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 4 x \cdot x}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

解题步骤 2.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

解题步骤 2.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 4 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

解题步骤 2.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

解题步骤 2.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = - 48 \frac{x^{2} + 12 - 4 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

解题步骤 2.15

从 $x^{2}$ 中减去 $4 x^{2}$ 。

$f'' (x) = - 48 \frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

解题步骤 2.16

组合 $- 48$ 和 $\frac{- 3 x^{2} + 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 48 (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

解题步骤 2.17

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = - \frac{(48) (- 3 x^{2} + 12)}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

解题步骤 2.18

化简。

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解题步骤 2.18.1

运用分配律。

$f'' (x) = - \frac{48 (- 3 x^{2}) + 48 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2

化简每一项。

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解题步骤 2.18.2.1

将 $- 3$ 乘以 $48$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 144 x^{2} + 48 \cdot 12}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

解题步骤 2.18.2.2

将 $48$ 乘以 $12$ 。

$f'' (x) = - \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = - 1$ 且 $g (x) = \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$ 。

$f''' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = - 144 x^{2} + 576$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 12)}^{3}$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} (- 144 x^{2} + 576) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{({(x^{2} + 12)}^{3})}^{2}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3

求微分。

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解题步骤 3.3.1

将 ${({(x^{2} + 12)}^{3})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} (- 144 x^{2} + 576) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{3 \cdot 2}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.1.2

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} (- 144 x^{2} + 576) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.2

根据加法法则， $- 144 x^{2} + 576$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 144 x^{2}] + \frac{d}{d x} [576]$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (\frac{d}{d x} (- 144 x^{2}) + \frac{d}{d x} (576)) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.3

因为 $- 144$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 144 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 144 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 144 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (576)) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.4

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 144 (2 x) + \frac{d}{d x} (576)) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.5

将 $2$ 乘以 $- 144$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x + \frac{d}{d x} (576)) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.6

因为 $576$ 对于 $x$ 是常数，所以 $576$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x + 0) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.3.7

将 $- 288 x$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - (- 144 x^{2} + 576) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{3}}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.4

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{3}$ 且 $g (x) = x^{2} + 12$ 。

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解题步骤 3.4.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 12$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - (- 144 x^{2} + 576) (\frac{d}{d u} (u^{3}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.4.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - (- 144 x^{2} + 576) (3 u^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.4.3

使用 $x^{2} + 12$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - (- 144 x^{2} + 576) (3 {(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.5

求微分。

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解题步骤 3.5.1

将 $3$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 3 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.5.2

根据加法法则， $x^{2} + 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 3 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12)))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.5.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 3 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} (2 x + \frac{d}{d x} (12)))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.5.4

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 3 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} (2 x + 0))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.5.5

化简表达式。

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解题步骤 3.5.5.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 3 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} (2 x))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.5.5.2

将 $2$ 移到 ${(x^{2} + 12)}^{2}$ 的左侧。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 3 (- 144 x^{2} + 576) (2 \cdot ({(x^{2} + 12)}^{2} x))}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.5.5.3

将 $2$ 乘以 $- 3$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 6 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} x)}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 3.5.6

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 6 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} x)}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + \frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}} \cdot 0$

解题步骤 3.5.7

化简表达式。

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解题步骤 3.5.7.1

将 $\frac{- 144 x^{2} + 576}{{(x^{2} + 12)}^{3}}$ 乘以 $0$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 6 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} x)}{{(x^{2} + 12)}^{6}} + 0$

解题步骤 3.5.7.2

将 $- \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 6 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} x)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) - 6 (- 144 x^{2} + 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} x)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

解题步骤 3.6

化简。

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解题步骤 3.6.1

运用分配律。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) + (- 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576) ({(x^{2} + 12)}^{2} x)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

解题步骤 3.6.2

化简分子。

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解题步骤 3.6.2.1

从 ${(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x) + (- 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576) {(x^{2} + 12)}^{2} x$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 12)}^{2} x$ 。

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解题步骤 3.6.2.1.1

从 ${(x^{2} + 12)}^{3} (- 288 x)$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 12)}^{2} x$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x ((x^{2} + 12) \cdot (- 288)) + (- 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576) {(x^{2} + 12)}^{2} x}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

解题步骤 3.6.2.1.2

从 $(- 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576) {(x^{2} + 12)}^{2} x$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 12)}^{2} x$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x ((x^{2} + 12) \cdot (- 288)) + {(x^{2} + 12)}^{2} x (- 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

解题步骤 3.6.2.1.3

从 ${(x^{2} + 12)}^{2} x ((x^{2} + 12) \cdot (- 288)) + {(x^{2} + 12)}^{2} x (- 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576)$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 12)}^{2} x$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x ((x^{2} + 12) \cdot (- 288) - 6 (- 144 x^{2}) - 6 \cdot 576)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

解题步骤 3.6.2.2

合并指数。

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解题步骤 3.6.2.2.1

将 $- 144$ 乘以 $- 6$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x ((x^{2} + 12) \cdot (- 288) + 864 x^{2} - 6 \cdot 576)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

解题步骤 3.6.2.2.2

将 $- 6$ 乘以 $576$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x ((x^{2} + 12) \cdot (- 288) + 864 x^{2} - 3456)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

解题步骤 3.6.2.3

化简每一项。

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解题步骤 3.6.2.3.1

运用分配律。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (x^{2} \cdot - 288 + 12 \cdot - 288 + 864 x^{2} - 3456)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

解题步骤 3.6.2.3.2

将 $- 288$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (- 288 \cdot x^{2} + 12 \cdot - 288 + 864 x^{2} - 3456)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

解题步骤 3.6.2.3.3

将 $12$ 乘以 $- 288$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (- 288 x^{2} - 3456 + 864 x^{2} - 3456)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

解题步骤 3.6.2.4

将 $- 288 x^{2}$ 和 $864 x^{2}$ 相加。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (576 x^{2} - 3456 - 3456)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

解题步骤 3.6.2.5

从 $- 3456$ 中减去 $3456$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (576 x^{2} - 6912)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

解题步骤 3.6.2.6

从 $576 x^{2} - 6912$ 中分解出因数 $576$ 。

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解题步骤 3.6.2.6.1

从 $576 x^{2}$ 中分解出因数 $576$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (576 (x^{2}) - 6912)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

解题步骤 3.6.2.6.2

从 $- 6912$ 中分解出因数 $576$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (576 x^{2} + 576 \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

解题步骤 3.6.2.6.3

从 $576 x^{2} + 576 \cdot - 12$ 中分解出因数 $576$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x (576 (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} x \cdot (576 (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3

合并项。

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解题步骤 3.6.3.1

将 $576$ 移到 ${(x^{2} + 12)}^{2} x$ 的左侧。

$f''' (x) = - \frac{576 \cdot (({(x^{2} + 12)}^{2} x) (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.2

约去 ${(x^{2} + 12)}^{2}$ 和 ${(x^{2} + 12)}^{6}$ 的公因数。

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解题步骤 3.6.3.2.1

从 $576 {(x^{2} + 12)}^{2} x (x^{2} - 12)$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 12)}^{2}$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} (576 x (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{6}}$

解题步骤 3.6.3.2.2

约去公因数。

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解题步骤 3.6.3.2.2.1

从 ${(x^{2} + 12)}^{6}$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 12)}^{2}$ 。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} (576 x (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{2} {(x^{2} + 12)}^{4}}$

解题步骤 3.6.3.2.2.2

约去公因数。

$f''' (x) = - \frac{{(x^{2} + 12)}^{2} (576 x (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{2} {(x^{2} + 12)}^{4}}$

解题步骤 3.6.3.2.2.3

重写表达式。

$f''' (x) = - \frac{576 x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

因为 $- 576$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{576 x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 576 \frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{4}}]$ 。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{d}{d x} \frac{x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{4}}$

解题步骤 4.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x (x^{2} - 12)$ 且 $g (x) = {(x^{2} + 12)}^{4}$ 。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 12)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{({(x^{2} + 12)}^{4})}^{2}}$

解题步骤 4.3

将 ${({(x^{2} + 12)}^{4})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 12)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{4 \cdot 2}}$

解题步骤 4.3.2

将 $4$ 乘以 $2$ 。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 12)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

解题步骤 4.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} - 12$ 。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (x \frac{d}{d x} (x^{2} - 12) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

解题步骤 4.5

求微分。

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解题步骤 4.5.1

根据加法法则， $x^{2} - 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ 。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

解题步骤 4.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (x (2 x + \frac{d}{d x} (- 12)) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

解题步骤 4.5.3

因为 $- 12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (x (2 x + 0) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

解题步骤 4.5.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (x (2 x) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

解题步骤 4.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (2 (x \cdot x) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

解题步骤 4.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (2 (x \cdot x) + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

解题步骤 4.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

解题步骤 4.9

使用幂法则求微分。

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解题步骤 4.9.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (2 x^{2} + (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

解题步骤 4.9.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (2 x^{2} + (x^{2} - 12) \cdot 1) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

解题步骤 4.9.3

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 4.9.3.1

将 $x^{2} - 12$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (2 x^{2} + x^{2} - 12) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

解题步骤 4.9.3.2

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12) - x (x^{2} - 12) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 12)}^{4}}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

解题步骤 4.10

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{4}$ 且 $g (x) = x^{2} + 12$ 。

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解题步骤 4.10.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $x^{2} + 12$ 。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12) - x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d u} (u^{4}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

解题步骤 4.10.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12) - x (x^{2} - 12) (4 u^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

解题步骤 4.10.3

使用 $x^{2} + 12$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12) - x (x^{2} - 12) (4 {(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

解题步骤 4.11

通过提取公因式进行化简。

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解题步骤 4.11.1

将 $4$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) ({(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

解题步骤 4.11.2

从 ${(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) ({(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 12)}^{3}$ 。

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解题步骤 4.11.2.1

从 ${(x^{2} + 12)}^{4} (3 x^{2} - 12)$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 12)}^{3}$ 。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12)) - 4 x (x^{2} - 12) ({(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

解题步骤 4.11.2.2

从 $- 4 x (x^{2} - 12) ({(x^{2} + 12)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2} + 12])$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 12)}^{3}$ 。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12)) + {(x^{2} + 12)}^{3} (- 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

解题步骤 4.11.2.3

从 ${(x^{2} + 12)}^{3} ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12)) + {(x^{2} + 12)}^{3} (- 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} [x^{2} + 12]))$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 12)}^{3}$ 。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{{(x^{2} + 12)}^{8}}$

解题步骤 4.12

约去公因数。

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解题步骤 4.12.1

从 ${(x^{2} + 12)}^{8}$ 中分解出因数 ${(x^{2} + 12)}^{3}$ 。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{{(x^{2} + 12)}^{3} {(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.12.2

约去公因数。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{{(x^{2} + 12)}^{3} ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12)))}{{(x^{2} + 12)}^{3} {(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.12.3

重写表达式。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2} + 12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.13

根据加法法则， $x^{2} + 12$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [12]$ 。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.14

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (2 x + \frac{d}{d x} (12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.15

因为 $12$ 对于 $x$ 是常数，所以 $12$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.16

化简表达式。

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解题步骤 4.16.1

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 4 x (x^{2} - 12) (2 x)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.16.2

将 $2$ 乘以 $- 4$ 。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x (x^{2} - 12) x}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.17

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 (x \cdot x) (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.18

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 (x \cdot x) (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.19

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x^{1 + 1} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.20

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f^{4} (x) = - 576 \frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.21

组合 $- 576$ 和 $\frac{(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x^{2} (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{- 576 ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x^{2} (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.22

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = - \frac{(576) ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x^{2} (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23

化简。

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解题步骤 4.23.1

运用分配律。

$f^{4} (x) = - \frac{576 ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12) - 8 x^{2} x^{2} - 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.2

运用分配律。

$f^{4} (x) = - \frac{576 ((x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12)) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.3

化简分子。

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解题步骤 4.23.3.1

化简每一项。

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解题步骤 4.23.3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(x^{2} + 12) (3 x^{2} - 12)$ 。

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解题步骤 4.23.3.1.1.1

运用分配律。

$f^{4} (x) = - \frac{576 (x^{2} (3 x^{2} - 12) + 12 (3 x^{2} - 12)) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.3.1.1.2

运用分配律。

$f^{4} (x) = - \frac{576 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 12 (3 x^{2} - 12)) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.3.1.1.3

运用分配律。

$f^{4} (x) = - \frac{576 (x^{2} (3 x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 12 (3 x^{2}) + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.3.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 4.23.3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 4.23.3.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot - 12 + 12 (3 x^{2}) + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.3.1.2.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.23.3.1.2.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 (x^{2} x^{2}) + x^{2} \cdot - 12 + 12 (3 x^{2}) + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.3.1.2.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{2 + 2} + x^{2} \cdot - 12 + 12 (3 x^{2}) + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.3.1.2.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{4} + x^{2} \cdot - 12 + 12 (3 x^{2}) + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.3.1.2.1.3

将 $- 12$ 移到 $x^{2}$ 的左侧。

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{4} - 12 \cdot x^{2} + 12 (3 x^{2}) + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.3.1.2.1.4

将 $3$ 乘以 $12$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{4} - 12 x^{2} + 36 x^{2} + 12 \cdot - 12) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.3.1.2.1.5

将 $12$ 乘以 $- 12$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{4} - 12 x^{2} + 36 x^{2} - 144) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.3.1.2.2

将 $- 12 x^{2}$ 和 $36 x^{2}$ 相加。

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{4} + 24 x^{2} - 144) + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.3.1.3

运用分配律。

$f^{4} (x) = - \frac{576 (3 x^{4}) + 576 (24 x^{2}) + 576 \cdot - 144 + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.3.1.4

化简。

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解题步骤 4.23.3.1.4.1

将 $3$ 乘以 $576$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 576 (24 x^{2}) + 576 \cdot - 144 + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.3.1.4.2

将 $24$ 乘以 $576$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} + 576 \cdot - 144 + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.3.1.4.3

将 $576$ 乘以 $- 144$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 + 576 (- 8 x^{2} x^{2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.3.1.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 4.23.3.1.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 + 576 (- 8 (x^{2} x^{2})) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.3.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 + 576 (- 8 x^{2 + 2}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.3.1.5.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 + 576 (- 8 x^{4}) + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.3.1.6

将 $- 8$ 乘以 $576$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 - 4608 x^{4} + 576 (- 8 x^{2} \cdot - 12)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.3.1.7

将 $- 12$ 乘以 $- 8$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 - 4608 x^{4} + 576 (96 x^{2})}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.3.1.8

将 $96$ 乘以 $576$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{1728 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 - 4608 x^{4} + 55296 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.3.2

从 $1728 x^{4}$ 中减去 $4608 x^{4}$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{- 2880 x^{4} + 13824 x^{2} - 82944 + 55296 x^{2}}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.3.3

将 $13824 x^{2}$ 和 $55296 x^{2}$ 相加。

$f^{4} (x) = - \frac{- 2880 x^{4} + 69120 x^{2} - 82944}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.4

从 $- 2880 x^{4} + 69120 x^{2} - 82944$ 中分解出因数 $576$ 。

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解题步骤 4.23.4.1

从 $- 2880 x^{4}$ 中分解出因数 $576$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- 5 x^{4}) + 69120 x^{2} - 82944}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.4.2

从 $69120 x^{2}$ 中分解出因数 $576$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- 5 x^{4}) + 576 (120 x^{2}) - 82944}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.4.3

从 $- 82944$ 中分解出因数 $576$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- 5 x^{4}) + 576 (120 x^{2}) + 576 (- 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.4.4

从 $576 (- 5 x^{4}) + 576 (120 x^{2})$ 中分解出因数 $576$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- 5 x^{4} + 120 x^{2}) + 576 (- 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.4.5

从 $576 (- 5 x^{4} + 120 x^{2}) + 576 (- 144)$ 中分解出因数 $576$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- 5 x^{4} + 120 x^{2} - 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.5

从 $- 5 x^{4}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- (5 x^{4}) + 120 x^{2} - 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.6

从 $120 x^{2}$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- (5 x^{4}) - (- 120 x^{2}) - 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.7

从 $- (5 x^{4}) - (- 120 x^{2})$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- (5 x^{4} - 120 x^{2}) - 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.8

将 $- 144$ 重写为 $- 1 (144)$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- (5 x^{4} - 120 x^{2}) - 1 \cdot 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.9

从 $- (5 x^{4} - 120 x^{2}) - 1 (144)$ 中分解出因数 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.10

将 $- (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)$ 重写为 $- 1 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)$ 。

$f^{4} (x) = - \frac{576 (- 1 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144))}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.11

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = \frac{576 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 4.23.12

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = 1 (\frac{576 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}})$

解题步骤 4.23.13

将 $\frac{576 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$ 乘以 $1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{576 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $\frac{576 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$ 。

$\frac{576 (5 x^{4} - 120 x^{2} + 144)}{{(x^{2} + 12)}^{5}}$

微积分学 示例

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