微积分学示例

$y = (7 x^{2} - 1) (2 x^{3} + x)$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = 7 x^{2} - 1$ 且 $g (x) = 2 x^{3} + x$ 。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) \frac{d}{d x} (2 x^{3} + x) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

解题步骤 1.2

求微分。

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解题步骤 1.2.1

根据加法法则， $2 x^{3} + x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

解题步骤 1.2.2

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $2 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

解题步骤 1.2.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

解题步骤 1.2.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} (x)) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

解题步骤 1.2.5

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) \frac{d}{d x} (7 x^{2} - 1)$

解题步骤 1.2.6

根据加法法则， $7 x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [7 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (\frac{d}{d x} (7 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

解题步骤 1.2.7

因为 $7$ 对于 $x$ 是常数，所以 $7 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $7 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (7 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))$

解题步骤 1.2.8

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (7 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1))$

解题步骤 1.2.9

将 $2$ 乘以 $7$ 。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (14 x + \frac{d}{d x} (- 1))$

解题步骤 1.2.10

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (14 x + 0)$

解题步骤 1.2.11

化简表达式。

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解题步骤 1.2.11.1

将 $14 x$ 和 $0$ 相加。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (2 x^{3} + x) (14 x)$

解题步骤 1.2.11.2

将 $14$ 移到 $2 x^{3} + x$ 的左侧。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + 14 \cdot ((2 x^{3} + x) x)$

解题步骤 1.3

化简。

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解题步骤 1.3.1

运用分配律。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + (14 (2 x^{3}) + 14 x) x$

解题步骤 1.3.2

运用分配律。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2} + 1) + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

解题步骤 1.3.3

运用分配律。

$f' (x) = (7 x^{2} - 1) (6 x^{2}) + (7 x^{2} - 1) \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

解题步骤 1.3.4

运用分配律。

$f' (x) = 7 x^{2} (6 x^{2}) - 1 (6 x^{2}) + (7 x^{2} - 1) \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

解题步骤 1.3.5

运用分配律。

$f' (x) = 7 x^{2} (6 x^{2}) - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

解题步骤 1.3.6

合并项。

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解题步骤 1.3.6.1

将 $6$ 乘以 $7$ 。

$f' (x) = 42 x^{2} x^{2} - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

解题步骤 1.3.6.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.6.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$f' (x) = 42 (x^{2} x^{2}) - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

解题步骤 1.3.6.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = 42 x^{2 + 2} - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

解题步骤 1.3.6.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f' (x) = 42 x^{4} - 1 (6 x^{2}) + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

解题步骤 1.3.6.3

将 $6$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = 42 x^{4} - 6 x^{2} + 7 x^{2} \cdot 1 - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

解题步骤 1.3.6.4

将 $7$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 42 x^{4} - 6 x^{2} + 7 x^{2} - 1 \cdot 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

解题步骤 1.3.6.5

将 $- 1$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = 42 x^{4} - 6 x^{2} + 7 x^{2} - 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

解题步骤 1.3.6.6

将 $- 6 x^{2}$ 和 $7 x^{2}$ 相加。

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 14 (2 x^{3}) x + 14 x \cdot x$

解题步骤 1.3.6.7

将 $2$ 乘以 $14$ 。

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{3} x + 14 x \cdot x$

解题步骤 1.3.6.8

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 (x \cdot x^{3}) + 14 x \cdot x$

解题步骤 1.3.6.9

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{1 + 3} + 14 x \cdot x$

解题步骤 1.3.6.10

将 $1$ 和 $3$ 相加。

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 x \cdot x$

解题步骤 1.3.6.11

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 (x \cdot x)$

解题步骤 1.3.6.12

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 (x \cdot x)$

解题步骤 1.3.6.13

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 x^{1 + 1}$

解题步骤 1.3.6.14

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = 42 x^{4} + x^{2} - 1 + 28 x^{4} + 14 x^{2}$

解题步骤 1.3.6.15

将 $42 x^{4}$ 和 $28 x^{4}$ 相加。

$f' (x) = 70 x^{4} + x^{2} - 1 + 14 x^{2}$

解题步骤 1.3.6.16

将 $x^{2}$ 和 $14 x^{2}$ 相加。

$f' (x) = 70 x^{4} + 15 x^{2} - 1$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

根据加法法则， $70 x^{4} + 15 x^{2} - 1$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [70 x^{4}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ 。

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (70 x^{4}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.2

计算 $\frac{d}{d x} [70 x^{4}]$ 。

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解题步骤 2.2.1

因为 $70$ 对于 $x$ 是常数，所以 $70 x^{4}$ 对 $x$ 的导数是 $70 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ 。

$f'' (x) = 70 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 4$ 。

$f'' (x) = 70 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.2.3

将 $4$ 乘以 $70$ 。

$f'' (x) = 280 x^{3} + \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3

计算 $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ 。

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解题步骤 2.3.1

因为 $15$ 对于 $x$ 是常数，所以 $15 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = 280 x^{3} + 15 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = 280 x^{3} + 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.3.3

将 $2$ 乘以 $15$ 。

$f'' (x) = 280 x^{3} + 30 x + \frac{d}{d x} (- 1)$

解题步骤 2.4

使用常数法则求导。

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解题步骤 2.4.1

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 1$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = 280 x^{3} + 30 x + 0$

解题步骤 2.4.2

将 $280 x^{3} + 30 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = 280 x^{3} + 30 x$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

根据加法法则， $280 x^{3} + 30 x$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [280 x^{3}] + \frac{d}{d x} [30 x]$ 。

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (280 x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x)$

解题步骤 3.2

计算 $\frac{d}{d x} [280 x^{3}]$ 。

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解题步骤 3.2.1

因为 $280$ 对于 $x$ 是常数，所以 $280 x^{3}$ 对 $x$ 的导数是 $280 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ 。

$f''' (x) = 280 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (30 x)$

解题步骤 3.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 3$ 。

$f''' (x) = 280 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (30 x)$

解题步骤 3.2.3

将 $3$ 乘以 $280$ 。

$f''' (x) = 840 x^{2} + \frac{d}{d x} (30 x)$

解题步骤 3.3

计算 $\frac{d}{d x} [30 x]$ 。

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解题步骤 3.3.1

因为 $30$ 对于 $x$ 是常数，所以 $30 x$ 对 $x$ 的导数是 $30 \frac{d}{d x} [x]$ 。

$f''' (x) = 840 x^{2} + 30 \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 3.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f''' (x) = 840 x^{2} + 30 \cdot 1$

解题步骤 3.3.3

将 $30$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = 840 x^{2} + 30$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

根据加法法则， $840 x^{2} + 30$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [840 x^{2}] + \frac{d}{d x} [30]$ 。

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (840 x^{2}) + \frac{d}{d x} (30)$

解题步骤 4.2

计算 $\frac{d}{d x} [840 x^{2}]$ 。

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解题步骤 4.2.1

因为 $840$ 对于 $x$ 是常数，所以 $840 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $840 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f^{4} (x) = 840 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (30)$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f^{4} (x) = 840 (2 x) + \frac{d}{d x} (30)$

解题步骤 4.2.3

将 $2$ 乘以 $840$ 。

$f^{4} (x) = 1680 x + \frac{d}{d x} (30)$

解题步骤 4.3

使用常数法则求导。

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解题步骤 4.3.1

因为 $30$ 对于 $x$ 是常数，所以 $30$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (x) = 1680 x + 0$

解题步骤 4.3.2

将 $1680 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = 1680 x$

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