微积分学示例

$f (x) = x \sqrt{4 - x^{2}}$

解题步骤 1

求一阶导数。

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解题步骤 1.1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{4 - x^{2}}$ 重写成 ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

解题步骤 1.2

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = x \frac{d}{d x} ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.3

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = 4 - x^{2}$ 。

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解题步骤 1.3.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $4 - x^{2}$ 。

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.3.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.3.3

使用 $4 - x^{2}$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.4

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.5

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.6

在公分母上合并分子。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.7

化简分子。

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解题步骤 1.7.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.7.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.8

合并分数。

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解题步骤 1.8.1

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = x (\frac{1}{2} \cdot {(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.8.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f' (x) = x (\frac{{(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.8.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(4 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f' (x) = x (\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.8.4

组合 $\frac{1}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (4 - x^{2}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.9

根据加法法则， $4 - x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (4) + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.10

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (- x^{2})) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.11

将 $0$ 和 $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ 相加。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2}) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x)) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.14

合并分数。

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解题步骤 1.14.1

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f' (x) = \frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x) + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.14.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = \frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot x + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.14.3

组合 $\frac{- 2 x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f' (x) = \frac{- 2 x \cdot x}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.15

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.16

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f' (x) = \frac{- 2 (x \cdot x)}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.17

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.18

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2}}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.19

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.20

约去公因数。

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解题步骤 1.20.1

从 $2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 ({(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.20.2

约去公因数。

$f' (x) = \frac{2 (- x^{2})}{2 {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.20.3

重写表达式。

$f' (x) = \frac{- x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.21

将负号移到分数的前面。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x)$

解题步骤 1.22

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

解题步骤 1.23

将 ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $1$ 。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$

解题步骤 1.24

要将 ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f' (x) = - \frac{x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.25

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.26

通过指数相加将 ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 1.26.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.26.2

在公分母上合并分子。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.26.3

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + {(4 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.26.4

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 - x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.27

化简 ${(4 - x^{2})}^{1}$ 。

$f' (x) = \frac{- x^{2} + 4 - x^{2}}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.28

从 $- x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(4 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 1.29

重新排序项。

$f' (x) = \frac{- 2 x^{2} + 4}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$

解题步骤 2

求二阶导数。

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解题步骤 2.1

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = - 2 x^{2} + 4$ 且 $g (x) = {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

解题步骤 2.2

将 ${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.2.1

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

解题步骤 2.2.2.2

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.3

化简。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} + 4) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.4

求微分。

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解题步骤 2.4.1

根据加法法则， $- 2 x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.4.2

因为 $- 2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 2 x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.4.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.4.4

将 $2$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + \frac{d}{d x} (4)) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.4.5

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x + 0) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.4.6

将 $- 4 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.5

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ 且 $g (x) = - x^{2} + 4$ 。

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解题步骤 2.5.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x^{2} + 4$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{1}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.5.3

使用 $- x^{2} + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.6

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.7

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.8

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.9

化简分子。

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解题步骤 2.9.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.9.2

从 $1$ 中减去 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.10

合并分数。

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解题步骤 2.10.1

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.10.2

组合 $\frac{1}{2}$ 和 ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.10.3

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.11

根据加法法则， $- x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.12

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.13

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.14

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (4)))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.15

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.16

化简项。

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解题步骤 2.16.1

将 $- 2 x$ 和 $0$ 相加。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.16.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.16.3

组合 $\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.16.4

从 $- 2 x$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.17

约去公因数。

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解题步骤 2.17.1

从 $2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.17.2

约去公因数。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.17.3

重写表达式。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) \frac{- x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.18

将负号移到分数的前面。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) - (- 2 x^{2} + 4) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.19

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + 1 (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.20

将 $- 2 x^{2} + 4$ 乘以 $1$ 。

$f'' (x) = \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- 4 x) + (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.21

化简。

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解题步骤 2.21.1

化简分子。

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解题步骤 2.21.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + (- 2 x^{2} + 4) (\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.21.1.2

将 $- 2 x^{2} + 4$ 乘以 $\frac{x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(- 2 x^{2} + 4) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.21.1.3

从 $- 2 x^{2} + 4$ 中分解出因数 $2$ 。

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解题步骤 2.21.1.3.1

从 $- 2 x^{2}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 4) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.21.1.3.2

从 $4$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{(2 (- x^{2}) + 2 (2)) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.21.1.3.3

从 $2 (- x^{2}) + 2 (2)$ 中分解出因数 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.21.1.4

要将 $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x \cdot \frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.21.1.5

组合 $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x$ 和 $\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.21.1.6

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.21.1.7

以因式分解的形式重写 $\frac{- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 。

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解题步骤 2.21.1.7.1

从 $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} + 2 (- x^{2} + 2) x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

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解题步骤 2.21.1.7.1.1

从 $- 4 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 (- x^{2} + 2) x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.21.1.7.1.2

从 $2 (- x^{2} + 2) x$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.21.1.7.1.3

从 $2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) + 2 x (- x^{2} + 2)$ 中分解出因数 $2 x$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.21.1.7.2

合并指数。

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解题步骤 2.21.1.7.2.1

通过指数相加将 ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 2.21.1.7.2.1.1

移动 ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.21.1.7.2.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.21.1.7.2.1.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 1}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.21.1.7.2.1.4

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.21.1.7.2.1.5

用 $2$ 除以 $2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 4) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.21.1.7.2.2

化简 $- 2 {(- x^{2} + 4)}^{1}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2} + 4) - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.21.1.8

化简分子。

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解题步骤 2.21.1.8.1

运用分配律。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (- 2 (- x^{2}) - 2 \cdot 4 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.21.1.8.2

将 $- 1$ 乘以 $- 2$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 2 \cdot 4 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.21.1.8.3

将 $- 2$ 乘以 $4$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (2 x^{2} - 8 - x^{2} + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.21.1.8.4

从 $2 x^{2}$ 中减去 $x^{2}$ 。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 8 + 2)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.21.1.8.5

将 $- 8$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.21.2

合并项。

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解题步骤 2.21.2.1

将 $\frac{\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 4}$ 重写为乘积形式。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 4}$

解题步骤 2.21.2.2

将 $\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}$ 乘以 $\frac{1}{- x^{2} + 4}$ 。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4)}$

解题步骤 2.21.2.3

通过指数相加将 ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- x^{2} + 4$ 。

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解题步骤 2.21.2.3.1

将 ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 乘以 $- x^{2} + 4$ 。

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解题步骤 2.21.2.3.1.1

对 $- x^{2} + 4$ 进行 $1$ 次方运算。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 4)}$

解题步骤 2.21.2.3.1.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

解题步骤 2.21.2.3.2

将 $1$ 写成具有公分母的分数。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

解题步骤 2.21.2.3.3

在公分母上合并分子。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

解题步骤 2.21.2.3.4

将 $1$ 和 $2$ 相加。

$f'' (x) = \frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$

解题步骤 3

求三阶导数。

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解题步骤 3.1

因为 $2$ 对于 $x$ 是常数，所以 $\frac{2 x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $2 \frac{d}{d x} [\frac{x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}]$ 。

$f''' (x) = 2 \frac{d}{d x} (\frac{x (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}})$

解题步骤 3.2

使用除法定则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ 等于 $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ，其中 $f (x) = x (x^{2} - 6)$ 且 $g (x) = {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{({(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}})}^{2}})$

解题步骤 3.3

将 ${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}})}^{2}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 3.3.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 3.3.2

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.3.2.1

约去公因数。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2} \cdot 2}})$

解题步骤 3.3.2.2

重写表达式。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} (x (x^{2} - 6)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.4

使用乘积法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ 等于 $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ，其中 $f (x) = x$ 且 $g (x) = x^{2} - 6$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (x \frac{d}{d x} (x^{2} - 6) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.5

求微分。

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解题步骤 3.5.1

根据加法法则， $x^{2} - 6$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6]$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6)) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.5.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (x (2 x + \frac{d}{d x} (- 6)) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.5.3

因为 $- 6$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- 6$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (x (2 x + 0) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.5.4

将 $2 x$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (x (2 x) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.6

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (2 (x \cdot x) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.7

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (2 (x \cdot x) + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.8

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{1 + 1} + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9

使用幂法则求微分。

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解题步骤 3.9.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{2} + (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (x)) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{2} + (x^{2} - 6) \cdot 1) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9.3

通过加上各项进行化简。

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解题步骤 3.9.3.1

将 $x^{2} - 6$ 乘以 $1$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (2 x^{2} + x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.9.3.2

将 $2 x^{2}$ 和 $x^{2}$ 相加。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}}}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.10

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ 且 $g (x) = - x^{2} + 4$ 。

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解题步骤 3.10.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x^{2} + 4$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{3}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.10.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = \frac{3}{2}$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.10.3

使用 $- x^{2} + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.11

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.12

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.13

在公分母上合并分子。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.14

化简分子。

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解题步骤 3.14.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.14.2

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{3}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.15

合并分数。

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解题步骤 3.15.1

组合 $\frac{3}{2}$ 和 ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - x (x^{2} - 6) (\frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.15.2

组合 $\frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ 和 $x$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - \frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot (x^{2} - 6) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.16

根据加法法则， $- x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - \frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.17

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - \frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.18

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - \frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (- (2 x) + \frac{d}{d x} (4)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.19

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - \frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (- 2 x + \frac{d}{d x} (4)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.20

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - \frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (- 2 x + 0))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.21

合并分数。

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解题步骤 3.21.1

将 $- 2 x$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) - \frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2} \cdot ((x^{2} - 6) (- 2 x))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.21.2

将 $- 2$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + 2 (\frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2}) \cdot ((x^{2} - 6) x)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.21.3

组合 $2$ 和 $\frac{3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x}{2}$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{2 (3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot ((x^{2} - 6) x)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.21.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{6 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x)}{2} \cdot ((x^{2} - 6) x)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.21.5

组合 $x$ 和 $\frac{6 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x)}{2}$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{x (6 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} x))}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.22

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{x \cdot x (6 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.23

对 $x$ 进行 $1$ 次方运算。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{x \cdot x (6 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.24

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{x^{1 + 1} (6 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.25

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{x^{2} (6 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.26

从 $x^{2} (6 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})$ 中分解出因数 $2$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{2 (x^{2} (3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.27

约去公因数。

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解题步骤 3.27.1

从 $2$ 中分解出因数 $2$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{2 (x^{2} (3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2 (1)} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.27.2

约去公因数。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{2 (x^{2} (3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}))}{2 \cdot 1} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.27.3

重写表达式。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + \frac{x^{2} (3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})}{1} \cdot (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.27.4

用 $x^{2} (3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}})$ 除以 $1$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + x^{2} (3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.28

从 ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + x^{2} (3 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}) (x^{2} - 6)$ 中分解出因数 ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.28.1

将 $x^{2}$ 和 $3$ 重新排序。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6) + 3 \cdot (x^{2} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 6))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.28.2

从 ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{3}{2}} (3 x^{2} - 6)$ 中分解出因数 ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} (3 x^{2} - 6)) + 3 \cdot (x^{2} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 6))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.28.3

从 $3 \cdot x^{2} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (x^{2} - 6)$ 中分解出因数 ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} (3 x^{2} - 6)) + {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot (x^{2} (x^{2} - 6)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.28.4

从 ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} (3 x^{2} - 6)) + {(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} (3 \cdot x^{2} (x^{2} - 6))$ 中分解出因数 ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} (3 x^{2} - 6) + 3 \cdot (x^{2} (x^{2} - 6)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.29

约去 $2$ 的公因数。

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解题步骤 3.29.1

约去公因数。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{2}{2}} (3 x^{2} - 6) + 3 \cdot (x^{2} (x^{2} - 6)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.29.2

重写表达式。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} ((- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 \cdot (x^{2} (x^{2} - 6)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.30

化简。

$f''' (x) = 2 (\frac{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}} ((- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 \cdot (x^{2} (x^{2} - 6)))}{{(- x^{2} + 4)}^{3}})$

解题步骤 3.31

使用负指数规则 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ 将 ${(- x^{2} + 4)}^{\frac{1}{2}}$ 移动到分母。

$f''' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3} {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}})$

解题步骤 3.32

通过指数相加将 ${(- x^{2} + 4)}^{3}$ 乘以 ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{1}{2}}$ 。

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解题步骤 3.32.1

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3 - \frac{1}{2}}})$

解题步骤 3.32.2

要将 $3$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{3 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}})$

解题步骤 3.32.3

组合 $3$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}})$

解题步骤 3.32.4

在公分母上合并分子。

$f''' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{3 \cdot 2 - 1}{2}}})$

解题步骤 3.32.5

化简分子。

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解题步骤 3.32.5.1

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{6 - 1}{2}}})$

解题步骤 3.32.5.2

从 $6$ 中减去 $1$ 。

$f''' (x) = 2 (\frac{(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}})$

解题步骤 3.33

组合 $2$ 和 $\frac{(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$ 。

$f''' (x) = \frac{2 ((- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} (x^{2} - 6))}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34

化简。

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解题步骤 3.34.1

运用分配律。

$f''' (x) = \frac{2 ((- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6) + 3 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.2

运用分配律。

$f''' (x) = \frac{2 ((- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6)) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3

化简分子。

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解题步骤 3.34.3.1

化简每一项。

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解题步骤 3.34.3.1.1

使用 FOIL 方法展开 $(- x^{2} + 4) (3 x^{2} - 6)$ 。

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解题步骤 3.34.3.1.1.1

运用分配律。

$f''' (x) = \frac{2 (- x^{2} (3 x^{2} - 6) + 4 (3 x^{2} - 6)) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3.1.1.2

运用分配律。

$f''' (x) = \frac{2 (- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot - 6 + 4 (3 x^{2} - 6)) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3.1.1.3

运用分配律。

$f''' (x) = \frac{2 (- x^{2} (3 x^{2}) - x^{2} \cdot - 6 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 6) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3.1.2

化简并合并同类项。

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解题步骤 3.34.3.1.2.1

化简每一项。

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解题步骤 3.34.3.1.2.1.1

使用乘法的交换性质重写。

$f''' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (3 x^{2} x^{2}) - x^{2} \cdot - 6 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 6) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3.1.2.1.2

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.34.3.1.2.1.2.1

移动 $x^{2}$ 。

$f''' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (3 (x^{2} x^{2})) - x^{2} \cdot - 6 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 6) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3.1.2.1.2.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (3 x^{2 + 2}) - x^{2} \cdot - 6 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 6) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3.1.2.1.2.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f''' (x) = \frac{2 (- 1 \cdot (3 x^{4}) - x^{2} \cdot - 6 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 6) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3.1.2.1.3

将 $- 1$ 乘以 $3$ 。

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} - x^{2} \cdot - 6 + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 6) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3.1.2.1.4

将 $- 6$ 乘以 $- 1$ 。

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 6 x^{2} + 4 (3 x^{2}) + 4 \cdot - 6) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3.1.2.1.5

将 $3$ 乘以 $4$ 。

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 6 x^{2} + 12 x^{2} + 4 \cdot - 6) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3.1.2.1.6

将 $4$ 乘以 $- 6$ 。

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 6 x^{2} + 12 x^{2} - 24) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3.1.2.2

将 $6 x^{2}$ 和 $12 x^{2}$ 相加。

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4} + 18 x^{2} - 24) + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3.1.3

运用分配律。

$f''' (x) = \frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 (18 x^{2}) + 2 \cdot - 24 + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3.1.4

化简。

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解题步骤 3.34.3.1.4.1

将 $- 3$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 2 (18 x^{2}) + 2 \cdot - 24 + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3.1.4.2

将 $18$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} + 2 \cdot - 24 + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3.1.4.3

将 $2$ 乘以 $- 24$ 。

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 48 + 2 (3 x^{2} x^{2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3.1.5

通过指数相加将 $x^{2}$ 乘以 $x^{2}$ 。

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解题步骤 3.34.3.1.5.1

移动 $x^{2}$ 。

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 48 + 2 (3 (x^{2} x^{2})) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3.1.5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 48 + 2 (3 x^{2 + 2}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3.1.5.3

将 $2$ 和 $2$ 相加。

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 48 + 2 (3 x^{4}) + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3.1.6

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 48 + 6 x^{4} + 2 (3 x^{2} \cdot - 6)}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3.1.7

将 $- 6$ 乘以 $3$ 。

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 48 + 6 x^{4} + 2 (- 18 x^{2})}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3.1.8

将 $- 18$ 乘以 $2$ 。

$f''' (x) = \frac{- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 48 + 6 x^{4} - 36 x^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3.2

合并 $- 6 x^{4} + 36 x^{2} - 48 + 6 x^{4} - 36 x^{2}$ 中相反的项。

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解题步骤 3.34.3.2.1

将 $- 6 x^{4}$ 和 $6 x^{4}$ 相加。

$f''' (x) = \frac{36 x^{2} - 48 + 0 - 36 x^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3.2.2

将 $36 x^{2} - 48$ 和 $0$ 相加。

$f''' (x) = \frac{36 x^{2} - 48 - 36 x^{2}}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3.2.3

从 $36 x^{2}$ 中减去 $36 x^{2}$ 。

$f''' (x) = \frac{0 - 48}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.3.2.4

从 $0$ 中减去 $48$ 。

$f''' (x) = \frac{- 48}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 3.34.4

将负号移到分数的前面。

$f''' (x) = - \frac{48}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 4

求四阶导数。

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解题步骤 4.1

使用常数相乘法则求微分。

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解题步骤 4.1.1

因为 $- 48$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- \frac{48}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$ 对 $x$ 的导数是 $- 48 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}]$ 。

$f^{4} (x) = - 48 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$

解题步骤 4.1.2

应用指数的基本规则。

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解题步骤 4.1.2.1

将 $\frac{1}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}}}$ 重写为 ${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ 。

$f^{4} (x) = - 48 \frac{d}{d x} {({(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$

解题步骤 4.1.2.2

将 ${({(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1.2.2.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$f^{4} (x) = - 48 \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{5}{2} \cdot - 1}$

解题步骤 4.1.2.2.2

乘以 $\frac{5}{2} \cdot - 1$ 。

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解题步骤 4.1.2.2.2.1

组合 $\frac{5}{2}$ 和 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = - 48 \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{5 \cdot - 1}{2}}$

解题步骤 4.1.2.2.2.2

将 $5$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = - 48 \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{\frac{- 5}{2}}$

解题步骤 4.1.2.2.3

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = - 48 \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{5}{2}}$

解题步骤 4.2

使用链式法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ 等于 $f' (g (x)) g' (x)$ ，其中 $f (x) = x^{- \frac{5}{2}}$ 且 $g (x) = - x^{2} + 4$ 。

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解题步骤 4.2.1

要使用链式法则，请将 $u$ 设为 $- x^{2} + 4$ 。

$f^{4} (x) = - 48 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{5}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

解题步骤 4.2.2

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ 等于 $n u^{n - 1}$ ，其中 $n = - \frac{5}{2}$ 。

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2} u^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

解题步骤 4.2.3

使用 $- x^{2} + 4$ 替换所有出现的 $u$ 。

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

解题步骤 4.3

要将 $- 1$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

解题步骤 4.4

组合 $- 1$ 和 $\frac{2}{2}$ 。

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

解题步骤 4.5

在公分母上合并分子。

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{- 5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

解题步骤 4.6

化简分子。

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解题步骤 4.6.1

将 $- 1$ 乘以 $2$ 。

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{- 5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

解题步骤 4.6.2

从 $- 5$ 中减去 $2$ 。

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{\frac{- 7}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

解题步骤 4.7

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2} \cdot {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{7}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

解题步骤 4.8

组合 ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{7}{2}}$ 和 $\frac{5}{2}$ 。

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{{(- x^{2} + 4)}^{- \frac{7}{2}} \cdot 5}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

解题步骤 4.9

化简表达式。

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解题步骤 4.9.1

将 $5$ 移到 ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{7}{2}}$ 的左侧。

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5 \cdot {(- x^{2} + 4)}^{- \frac{7}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

解题步骤 4.9.2

使用负指数规则 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ 将 ${(- x^{2} + 4)}^{- \frac{7}{2}}$ 移动到分母。

$f^{4} (x) = - 48 (- \frac{5}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

解题步骤 4.9.3

将 $- 1$ 乘以 $- 48$ 。

$f^{4} (x) = 48 (\frac{5}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4))$

解题步骤 4.10

组合 $\frac{5}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}}$ 和 $48$ 。

$f^{4} (x) = \frac{5 \cdot 48}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4)$

解题步骤 4.11

将 $5$ 乘以 $48$ 。

$f^{4} (x) = \frac{240}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4)$

解题步骤 4.12

从 $240$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{4} (x) = \frac{2 \cdot 120}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4)$

解题步骤 4.13

约去公因数。

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解题步骤 4.13.1

从 $2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}$ 中分解出因数 $2$ 。

$f^{4} (x) = \frac{2 \cdot 120}{2 ({(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}})} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4)$

解题步骤 4.13.2

约去公因数。

$f^{4} (x) = \frac{2 \cdot 120}{2 {(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4)$

解题步骤 4.13.3

重写表达式。

$f^{4} (x) = \frac{120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 4)$

解题步骤 4.14

根据加法法则， $- x^{2} + 4$ 对 $x$ 的导数是 $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ 。

$f^{4} (x) = \frac{120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))$

解题步骤 4.15

因为 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以 $- x^{2}$ 对 $x$ 的导数是 $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ 。

$f^{4} (x) = \frac{120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (4))$

解题步骤 4.16

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ 等于 $n x^{n - 1}$ ，其中 $n = 2$ 。

$f^{4} (x) = \frac{120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (4))$

解题步骤 4.17

将 $2$ 乘以 $- 1$ 。

$f^{4} (x) = \frac{120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (4))$

解题步骤 4.18

因为 $4$ 对于 $x$ 是常数，所以 $4$ 对 $x$ 的导数为 $0$ 。

$f^{4} (x) = \frac{120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (- 2 x + 0)$

解题步骤 4.19

合并分数。

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解题步骤 4.19.1

将 $- 2 x$ 和 $0$ 相加。

$f^{4} (x) = \frac{120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot (- 2 x)$

解题步骤 4.19.2

组合 $- 2$ 和 $\frac{120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}}$ 。

$f^{4} (x) = \frac{- 2 \cdot 120}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot x$

解题步骤 4.19.3

将 $- 2$ 乘以 $120$ 。

$f^{4} (x) = \frac{- 240}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}} \cdot x$

解题步骤 4.19.4

组合 $\frac{- 240}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}}$ 和 $x$ 。

$f^{4} (x) = \frac{- 240 x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}}$

解题步骤 4.19.5

将负号移到分数的前面。

$f^{4} (x) = - \frac{240 x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}}$

解题步骤 5

$f (x)$ 对于 $x$ 的四阶导数是 $- \frac{240 x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}}$ 。

$- \frac{240 x}{{(- x^{2} + 4)}^{\frac{7}{2}}}$

微积分学 示例

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