微积分学示例

$\int \frac{1}{x^{3} \sqrt{x^{2} - 1}} d x$

解题步骤 1

使 $x = \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = \sec (t) \tan (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $\sec (t) \tan (t)$ 为正数。

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \sqrt{\sec^{2} (t) - 1}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{\sec^{2} (t) - 1}$ 。

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解题步骤 2.1.1

使用勾股恒等式。

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \sqrt{\tan^{2} (t)}} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.2

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{1}{\sec^{3} (t) \tan (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.2

通过约去公因数来化简表达式。

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解题步骤 2.2.1

约去 $\sec (t) \tan (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.1.1

从 $\sec^{3} (t) \tan (t)$ 中分解出因数 $\sec (t) \tan (t)$ 。

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t) (\sec^{2} (t))} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.2.1.2

约去公因数。

$\int \frac{1}{\sec (t) \tan (t) \sec^{2} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.2.1.3

重写表达式。

$\int \frac{1}{\sec^{2} (t)} d t$

解题步骤 2.2.2

化简。

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解题步骤 2.2.2.1

将 $1$ 重写为 $1^{2}$ 。

$\int \frac{1^{2}}{\sec^{2} (t)} d t$

解题步骤 2.2.2.2

将 $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (t)}$ 重写为 ${(\frac{1}{\sec (t)})}^{2}$ 。

$\int {(\frac{1}{\sec (t)})}^{2} d t$

解题步骤 2.2.2.3

将 $\sec (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\int {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

解题步骤 2.2.2.4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (t)}$ 。

$\int {(1 \cos (t))}^{2} d t$

解题步骤 2.2.2.5

将 $\cos (t)$ 乘以 $1$ 。

$\int \cos^{2} (t) d t$

解题步骤 3

使用半角公式将 $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为 $\cos^{2} (t)$ 的形式。

$\int \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

解题步骤 4

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 t) d t$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{2} (\int d t + \int \cos (2 t) d t)$

解题步骤 6

应用常数不变法则。

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (2 t) d t)$

解题步骤 7

使 $u = 2 t$ 。然后使 $d u = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 7.1

设 $u = 2 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 7.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 7.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 7.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 7.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 7.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{2} (t + C + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 8

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{2} (t + C + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 9

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

解题步骤 10

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{2} (t + C + \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

解题步骤 11

化简。

$\frac{1}{2} (t + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

解题步骤 12

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 12.1

使用 $arcsec (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

解题步骤 12.2

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

解题步骤 12.3

使用 $arcsec (x)$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{1}{2} \sin (2 arcsec (x))) + C$

解题步骤 13

化简。

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解题步骤 13.1

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $\sin (2 arcsec (x))$ 。

$\frac{1}{2} (arcsec (x) + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}) + C$

解题步骤 13.2

运用分配律。

$\frac{1}{2} arcsec (x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2} + C$

解题步骤 13.3

组合 $\frac{1}{2}$ 和 $arcsec (x)$ 。

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2} + C$

解题步骤 13.4

乘以 $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}$ 。

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解题步骤 13.4.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{\sin (2 arcsec (x))}{2}$ 。

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{2 \cdot 2} + C$

解题步骤 13.4.2

将 $2$ 乘以 $2$ 。

$\frac{arcsec (x)}{2} + \frac{\sin (2 arcsec (x))}{4} + C$

解题步骤 14

重新排序项。

$\frac{1}{2} arcsec (x) + \frac{1}{4} \sin (2 arcsec (x)) + C$

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