微积分学示例

$\int \frac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

解题步骤 1

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{2}}$ 。

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

解题步骤 2

使用 $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ ，将 $\sqrt[3]{x}$ 重写成 $x^{\frac{1}{3}}$ 。

$\int \frac{x^{\frac{1}{2}} + 1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

解题步骤 3

通过将 $x^{\frac{1}{3}}$ 乘以 $- 1$ 次幂来将其移出分母。

$\int (x^{\frac{1}{2}} + 1) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

解题步骤 4

将 ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ 中的指数相乘。

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解题步骤 4.1

运用幂法则并将指数相乘， ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ 。

$\int (x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

解题步骤 4.2

组合 $\frac{1}{3}$ 和 $- 1$ 。

$\int (x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

解题步骤 4.3

将负号移到分数的前面。

$\int (x^{\frac{1}{2}} + 1) x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 5

化简。

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解题步骤 5.1

运用分配律。

$\int x^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 5.2

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int x^{\frac{1}{2} - \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 5.3

要将 $\frac{1}{2}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\int x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 5.4

要将 $- \frac{1}{3}$ 写成带有公分母的分数，请乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int x^{\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 5.5

通过与 $1$ 的合适因数相乘，将每一个表达式写成具有公分母 $6$ 的形式。

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解题步骤 5.5.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{3}{3}$ 。

$\int x^{\frac{3}{2 \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 5.5.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\int x^{\frac{3}{6} - \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 5.5.3

将 $\frac{1}{3}$ 乘以 $\frac{2}{2}$ 。

$\int x^{\frac{3}{6} - \frac{2}{3 \cdot 2}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 5.5.4

将 $3$ 乘以 $2$ 。

$\int x^{\frac{3}{6} - \frac{2}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 5.6

在公分母上合并分子。

$\int x^{\frac{3 - 2}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 5.7

从 $3$ 中减去 $2$ 。

$\int x^{\frac{1}{6}} + 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 5.8

将 $x^{- \frac{1}{3}}$ 乘以 $1$ 。

$\int x^{\frac{1}{6}} + x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 6

将单个积分拆分为多个积分。

$\int x^{\frac{1}{6}} d x + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 7

根据幂法则， $x^{\frac{1}{6}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}}$ 。

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C + \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

解题步骤 8

根据幂法则， $x^{- \frac{1}{3}}$ 对 $x$ 的积分是 $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ 。

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + C + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

解题步骤 9

化简。

$\frac{6}{7} x^{\frac{7}{6}} + \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

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