微积分学示例

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x^{3}} d x$

解题步骤 1

使 $x = 3 \sec (t)$ ，其中 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ 。然后使 $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ 。请注意，因为 $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ ，所以 $3 \sec (t) \tan (t)$ 为正数。

$\int \frac{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2

化简项。

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解题步骤 2.1

化简 $\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ 。

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解题步骤 2.1.1

化简每一项。

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解题步骤 2.1.1.1

对 $3 \sec (t)$ 运用乘积法则。

$\int \frac{\sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.1.2

对 $3$ 进行 $2$ 次方运算。

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.2

从 $9 \sec^{2} (t)$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.3

从 $- 9$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.4

从 $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ 中分解出因数 $9$ 。

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.5

使用勾股恒等式。

$\int \frac{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.6

将 $9 \tan^{2} (t)$ 重写为 ${(3 \tan (t))}^{2}$ 。

$\int \frac{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.1.7

假设各项均为正实数，从根式下提出各项。

$\int \frac{3 \tan (t)}{{(3 \sec (t))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.2

化简。

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解题步骤 2.2.1

从 $3 \sec (t)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{3 \tan (t)}{{(3 (\sec (t)))}^{3}} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.2.2

对 $3 (\sec (t))$ 运用乘积法则。

$\int \frac{3 \tan (t)}{3^{3} \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.2.3

对 $3$ 进行 $3$ 次方运算。

$\int \frac{3 \tan (t)}{27 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.2.4

约去 $3$ 和 $27$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.4.1

从 $3 \tan (t)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{3 (\tan (t))}{27 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.2.4.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.4.2.1

从 $27 \sec^{3} (t)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{3 (\tan (t))}{3 (9 \sec^{3} (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.2.4.2.2

约去公因数。

$\int \frac{3 \tan (t)}{3 (9 \sec^{3} (t))} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.2.4.2.3

重写表达式。

$\int \frac{\tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.2.5

组合 $3$ 和 $\frac{\tan (t)}{9 \sec^{3} (t)}$ 。

$\int \frac{3 \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} (\sec (t) \tan (t)) d t$

解题步骤 2.2.6

组合 $\sec (t)$ 和 $\frac{3 \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)}$ 。

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan (t))}{9 \sec^{3} (t)} \tan (t) d t$

解题步骤 2.2.7

组合 $\frac{\sec (t) (3 \tan (t))}{9 \sec^{3} (t)}$ 和 $\tan (t)$ 。

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan (t)) \tan (t)}{9 \sec^{3} (t)} d t$

解题步骤 2.2.8

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{\sec (t) (3 (\tan^{1} (t) \tan (t)))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

解题步骤 2.2.9

对 $\tan (t)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \frac{\sec (t) (3 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

解题步骤 2.2.10

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$\int \frac{\sec (t) (3 {\tan (t)}^{1 + 1})}{9 \sec^{3} (t)} d t$

解题步骤 2.2.11

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$\int \frac{\sec (t) (3 \tan^{2} (t))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

解题步骤 2.2.12

将 $3$ 移到 $\sec (t)$ 的左侧。

$\int \frac{3 \cdot \sec (t) \tan^{2} (t)}{9 \sec^{3} (t)} d t$

解题步骤 2.2.13

约去 $3$ 和 $9$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.13.1

从 $3 \sec (t) \tan^{2} (t)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{9 \sec^{3} (t)} d t$

解题步骤 2.2.13.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.13.2.1

从 $9 \sec^{3} (t)$ 中分解出因数 $3$ 。

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{3 (3 \sec^{3} (t))} d t$

解题步骤 2.2.13.2.2

约去公因数。

$\int \frac{3 (\sec (t) \tan^{2} (t))}{3 (3 \sec^{3} (t))} d t$

解题步骤 2.2.13.2.3

重写表达式。

$\int \frac{\sec (t) \tan^{2} (t)}{3 \sec^{3} (t)} d t$

解题步骤 2.2.14

约去 $\sec (t)$ 和 $\sec^{3} (t)$ 的公因数。

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解题步骤 2.2.14.1

从 $\sec (t) \tan^{2} (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$\int \frac{\sec (t) (\tan^{2} (t))}{3 \sec^{3} (t)} d t$

解题步骤 2.2.14.2

约去公因数。

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解题步骤 2.2.14.2.1

从 $3 \sec^{3} (t)$ 中分解出因数 $\sec (t)$ 。

$\int \frac{\sec (t) (\tan^{2} (t))}{\sec (t) (3 \sec^{2} (t))} d t$

解题步骤 2.2.14.2.2

约去公因数。

$\int \frac{\sec (t) \tan^{2} (t)}{\sec (t) (3 \sec^{2} (t))} d t$

解题步骤 2.2.14.2.3

重写表达式。

$\int \frac{\tan^{2} (t)}{3 \sec^{2} (t)} d t$

解题步骤 3

由于 $\frac{1}{3}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{3}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} \int \frac{\tan^{2} (t)}{\sec^{2} (t)} d t$

解题步骤 4

化简。

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解题步骤 4.1

将 $\frac{\tan^{2} (t)}{\sec^{2} (t)}$ 重写为 ${(\frac{\tan (t)}{\sec (t)})}^{2}$ 。

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\tan (t)}{\sec (t)})}^{2} d t$

解题步骤 4.2

将 $\sec (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\tan (t)}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

解题步骤 4.3

将 $\tan (t)$ 重写为正弦和余弦形式。

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\frac{\sin (t)}{\cos (t)}}{\frac{1}{\cos (t)}})}^{2} d t$

解题步骤 4.4

乘以分数的倒数从而实现除以 $\frac{1}{\cos (t)}$ 。

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cos (t))}^{2} d t$

解题步骤 4.5

将 $\cos (t)$ 写成分母为 $1$ 的分数。

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{1})}^{2} d t$

解题步骤 4.6

约去 $\cos (t)$ 的公因数。

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解题步骤 4.6.1

约去公因数。

$\frac{1}{3} \int {(\frac{\sin (t)}{\cos (t)} \cdot \frac{\cos (t)}{1})}^{2} d t$

解题步骤 4.6.2

重写表达式。

$\frac{1}{3} \int \sin^{2} (t) d t$

解题步骤 5

使用半角公式将 $\frac{1 - \cos (2 t)}{2}$ 重新书写为 $\sin^{2} (t)$ 的形式。

$\frac{1}{3} \int \frac{1 - \cos (2 t)}{2} d t$

解题步骤 6

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{3} (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 t) d t)$

解题步骤 7

化简。

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解题步骤 7.1

将 $\frac{1}{2}$ 乘以 $\frac{1}{3}$ 。

$\frac{1}{2 \cdot 3} \int 1 - \cos (2 t) d t$

解题步骤 7.2

将 $2$ 乘以 $3$ 。

$\frac{1}{6} \int 1 - \cos (2 t) d t$

解题步骤 8

将单个积分拆分为多个积分。

$\frac{1}{6} (\int d t + \int - \cos (2 t) d t)$

解题步骤 9

应用常数不变法则。

$\frac{1}{6} (t + C + \int - \cos (2 t) d t)$

解题步骤 10

由于 $- 1$ 对于 $t$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$\frac{1}{6} (t + C - \int \cos (2 t) d t)$

解题步骤 11

使 $u = 2 t$ 。然后使 $d u = 2 d t$ ，以便 $\frac{1}{2} d u = d t$ 。使用 $u$ 和 $d$ $u$ 进行重写。

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解题步骤 11.1

设 $u = 2 t$ 。求 $\frac{d u}{d t}$ 。

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解题步骤 11.1.1

对 $2 t$ 求导。

$\frac{d}{d t} [2 t]$

解题步骤 11.1.2

因为 $2$ 对于 $t$ 是常数，所以 $2 t$ 对 $t$ 的导数是 $2 \frac{d}{d t} [t]$ 。

$2 \frac{d}{d t} [t]$

解题步骤 11.1.3

使用幂法则求微分，根据该法则， $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ 等于 $n t^{n - 1}$ ，其中 $n = 1$ 。

$2 \cdot 1$

解题步骤 11.1.4

将 $2$ 乘以 $1$ 。

$2$

解题步骤 11.2

使用 $u$ 和 $d u$ 重写该问题。

$\frac{1}{6} (t + C - \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

解题步骤 12

组合 $\cos (u)$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{6} (t + C - \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

解题步骤 13

由于 $\frac{1}{2}$ 对于 $u$ 是常数，所以将 $\frac{1}{2}$ 移到积分外。

$\frac{1}{6} (t + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u) d u))$

解题步骤 14

$\cos (u)$ 对 $u$ 的积分为 $\sin (u)$ 。

$\frac{1}{6} (t + C - \frac{1}{2} (\sin (u) + C))$

解题步骤 15

化简。

$\frac{1}{6} (t - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

解题步骤 16

代回替换每一个积分法替换变量。

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解题步骤 16.1

使用 $arcsec (\frac{x}{3})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (u)) + C$

解题步骤 16.2

使用 $2 t$ 替换所有出现的 $u$ 。

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (2 t)) + C$

解题步骤 16.3

使用 $arcsec (\frac{x}{3})$ 替换所有出现的 $t$ 。

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{1}{2} \sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))) + C$

解题步骤 17

化简。

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解题步骤 17.1

组合 $\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))$ 和 $\frac{1}{2}$ 。

$\frac{1}{6} (arcsec (\frac{x}{3}) - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

解题步骤 17.2

运用分配律。

$\frac{1}{6} arcsec (\frac{x}{3}) + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

解题步骤 17.3

组合 $\frac{1}{6}$ 和 $arcsec (\frac{x}{3})$ 。

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} + \frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}) + C$

解题步骤 17.4

乘以 $\frac{1}{6} (- \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2})$ 。

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解题步骤 17.4.1

将 $\frac{1}{6}$ 乘以 $\frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{2}$ 。

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{6 \cdot 2} + C$

解题步骤 17.4.2

将 $6$ 乘以 $2$ 。

$\frac{arcsec (\frac{x}{3})}{6} - \frac{\sin (2 arcsec (\frac{x}{3}))}{12} + C$

解题步骤 18

重新排序项。

$\frac{1}{6} arcsec (\frac{1}{3} x) - \frac{1}{12} \sin (2 arcsec (\frac{1}{3} x)) + C$

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