微积分学示例

$\int \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{3} (x)} d x$

解题步骤 1

化简。

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解题步骤 1.1

乘以 $1$ 。

$\int \frac{\sin^{2} (x) \cdot 1}{\cos^{3} (x)} d x$

解题步骤 1.2

从 $\cos^{3} (x)$ 中分解出因数 $\cos^{2} (x)$ 。

$\int \frac{\sin^{2} (x) \cdot 1}{\cos^{2} (x) \cos (x)} d x$

解题步骤 1.3

分离分数。

$\int \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} d x$

解题步骤 1.4

将 $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ 转换成 $\tan^{2} (x)$ 。

$\int \frac{1}{\cos (x)} \tan^{2} (x) d x$

解题步骤 1.5

将 $\frac{1}{\cos (x)}$ 转换成 $\sec (x)$ 。

$\int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

解题步骤 2

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$\int \sec^{1} (x) \tan^{2} (x) d x$

解题步骤 3

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (x)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (x)$ 的形式。

$\int \sec^{1} (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

解题步骤 4

化简项。

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解题步骤 4.1

运用分配律。

$\int \sec^{1} (x) \cdot - 1 + \sec^{1} (x) \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 4.2

化简每一项。

$\int - \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

解题步骤 5

将单个积分拆分为多个积分。

$\int - \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x$

解题步骤 6

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x$

解题步骤 7

$\sec (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ 。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x$

解题步骤 8

从 $\sec^{3} (x)$ 中分解出因数 $\sec (x)$ 。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec (x) \sec^{2} (x) d x$

解题步骤 9

利用公式 $\int u d v = u v - \int v d u$ 来分部求积分，其中 $u = \sec (x)$ ， $d v = \sec^{2} (x)$ 。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \tan (x) (\sec (x) \tan (x)) d x$

解题步骤 10

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x) d x$

解题步骤 11

对 $\tan (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x) d x$

解题步骤 12

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

解题步骤 13

化简表达式。

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解题步骤 13.1

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \tan^{2} (x) \sec (x) d x$

解题步骤 13.2

将 $\tan^{2} (x)$ 和 $\sec (x)$ 重新排序。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \tan^{2} (x) d x$

解题步骤 14

使用勾股定理，将 $\tan^{2} (x)$ 重写成 $- 1 + \sec^{2} (x)$ 的形式。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec^{2} (x)) d x$

解题步骤 15

通过相乘进行化简。

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解题步骤 15.1

将幂重写为乘积形式。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) (- 1 + \sec (x) \sec (x)) d x$

解题步骤 15.2

运用分配律。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int \sec (x) \cdot - 1 + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

解题步骤 15.3

将 $\sec (x)$ 和 $- 1$ 重新排序。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \cdot \sec (x) + \sec (x) (\sec (x) \sec (x)) d x$

解题步骤 16

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec (x) \sec (x) d x$

解题步骤 17

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \sec (x) d x$

解题步骤 18

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{1 + 1} \sec (x) d x$

解题步骤 19

将 $1$ 和 $1$ 相加。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec (x) d x$

解题步骤 20

对 $\sec (x)$ 进行 $1$ 次方运算。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{2} (x) \sec^{1} (x) d x$

解题步骤 21

使用幂法则 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ 合并指数。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + {\sec (x)}^{2 + 1} d x$

解题步骤 22

将 $2$ 和 $1$ 相加。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - \int - 1 \sec (x) + \sec^{3} (x) d x$

解题步骤 23

将单个积分拆分为多个积分。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - (\int - 1 \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

解题步骤 24

由于 $- 1$ 对于 $x$ 是常数，所以将 $- 1$ 移到积分外。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - (- \int \sec (x) d x + \int \sec^{3} (x) d x)$

解题步骤 25

$\sec (x)$ 对 $x$ 的积分为 $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |)$ 。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - (- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \int \sec^{3} (x) d x)$

解题步骤 26

通过相乘进行化简。

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解题步骤 26.1

运用分配律。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) - - (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

解题步骤 26.2

将 $- 1$ 乘以 $- 1$ 。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) - \int \sec^{3} (x) d x$

解题步骤 27

求解 $\int \sec^{3} (x) d x$ ，我们发现 $\int \sec^{3} (x) d x$ = $\frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2}$ 。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \frac{\sec (x) \tan (x) + 1 (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C)}{2} + C$

解题步骤 28

将 $\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C$ 乘以 $1$ 。

$- (\ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C) + \frac{\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + C}{2} + C$

解题步骤 29

化简。

$- \ln (| \sec (x) + \tan (x) |) + \frac{1}{2} (\sec (x) \tan (x) + \ln (| \sec (x) + \tan (x) |)) + C$

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